Considere um oscilador harmônico unidimensional modificado, definido pela função hamiltoniana
, onde
para
para
. Ele encontra-se em equilíbrio térmico com um reservatório de calor a temperatura
.
a) Justifique, em termos da paridade das autofunções do problema quântico, por que, devido às condições impostas, apenas os valores inteiros ímpares de
são permitidos para as autoenergias deste oscilador,
.
b) Para a versão quântica, obtenha a função de partição canônica
deste oscilador e a energia livre de Helmholtz associada
.
c) Obtenha a energia interna média deste oscilador a partir de
.
a) Condições de contorno exigem
, eliminando estados pares
b)
c)
a) Justifique, em termos da paridade das autofunções do problema quântico, por que, devido às condições impostas, apenas os valores inteiros ímpares de
b) Para a versão quântica, obtenha a função de partição canônica
c) Obtenha a energia interna média deste oscilador a partir de
a) Condições de contorno exigem
b)
c)
Passo 1
O enunciado descreve um oscilador harmônico unidimensional com potencial
ou seja, é o oscilador normal “cortado” em
. Precisamos (a) justificar em termos de paridade por que só aparecem estados de
ímpar, (b) obter a função de partição canônica
e a energia livre de Helmholtz
, e (c) calcular a energia interna média
via
com
.
Passo 2
No oscilador harmônico não restrito, as autofunções
têm paridade bem definida: para
par são pares e
; para
ímpar são ímpares e
. Como aqui impomos
em
, a condição de fronteira é
Logo só as autofunções ímpares do oscilador livre são permitidas, pois são as únicas que anulam em
.
Passo 3
Os níveis de energia permitidos correspondem a
. Definindo
com
, cada energia é
Passo 4
A função de partição quântica é
A energia livre de Helmholtz é
Passo 5
Para a energia interna média usamos
Como
, temos
Resposta
a) Só estados ímpares do oscilador livre satisfazem
, logo
.
b)
b)
c)