Considere o pacote de onda Gaussiano unidimensional
psi(x)=N exp [-(x-x0)^22 alpha]
a) Obtenha a constante de normalização N
b) Obtenha g(k), a transformada de Fourier de psi(x)
c) Verifique que g(k) está normalizada

Passo 1

O enunciado nos dá um pacote de onda gaussiano unidimensional
psi(x)=Nexp[-(x-x0)^22alpha]
e pede: achar a constante de normalização em x, calcular sua transformada de Fourier g(k) e mostrar que g(k) também fica normalizada. Vamos usar integrais gaussianas e completar o quadrado.

Passo 2

Para normalizar psi(x) em x usamos
1=integral-infty^infty|psi(x)|^2,dx=|N|^2integral-infty^inftyexp[-(x-x0)^2alpha]dx
Como integral-infty^inftyexp[-(x-x0)^2/alpha]dx=raizpialpha, vem
|N|^2raizpialpha=1Rightarrow N=(pialpha)^-1/4

Passo 3

Definimos a transformada de Fourier como
g(k)=1raiz2piintegral-infty^inftypsi(x)e^-ikxdx
Logo
g(k)=Nraiz2piintegral e^-(x-x0)^22alpha-ikxdx
Fazendo a mudança u=x-x0 e completando o quadrado no expoente, usa-se
integral-infty^inftye^-u^22alphadu=raiz2pialpha
e obtém-se
g(k)=Nraiz2pialpharaiz2piexp[-alpha k^22-ikx0] =raizalpha,N,e^-alpha k^22-ikx0
Substituindo N=(pialpha)^-1/4
g(k)=(tfracalphapi)^1/4exp[-alpha k^22-ikx0]

Passo 4

Para verificar a normalização em k calculamos
integral-infty^infty|g(k)|^2dk=(tfracalphapi)^1/2integral e^-alpha k^2dk=(tfracalphapi)^1/2raiztfracpialpha=1
Portanto g(k) também está normalizada.

Resposta

a) N=(pialpha)^-1/4. b) g(k)=(tfracalphapi)^1/4exp[-tfracalpha k^22-ikx0]. c) De fato integral|g(k)|^2dk=1, logo está normalizada.

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