Mostre que a “função” $ \delta $ satisfaz às seguintes propriedades:
de

Passo 1

Nesse exercício, vamos mostrar que a distribuição δ satisfaz a relação de para a>0. O conteúdo aqui é a propriedade de mudança de variável da distribuição delta em Teoria de Distribuições.

Passo 2

A teoria geral diz que, se g:RtoR é diferenciável e tem raízes simples xi tais que g(xi)=0 e g'(xi)neq0, então vale
de
Essa fórmula expressa como a δ “amostra” em cada raiz de g, ponderando pela derivada.

Passo 3

Aplicando a g(x)=x^2-a^2, suas raízes são x1=a e x2=-a. A derivada é g'(x)=2x, logo
|g'(a)|=2a,
|g'(-a)|=2a
Substituindo na fórmula da δ, obtemos
de

Passo 4

Assim chegamos exatamente à expressão pedida, usando a propriedade de mudança de variável da distribuição delta.

Resposta

de

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