Mostre que a “função” $ \delta $ satisfaz às seguintes propriedades:
Passo 1
Nesse exercício, vamos mostrar que a distribuição δ satisfaz a relação
para
. O conteúdo aqui é a propriedade de mudança de variável da distribuição delta em Teoria de Distribuições.
Passo 2
A teoria geral diz que, se
é diferenciável e tem raízes simples
tais que
e
, então vale
Essa fórmula expressa como a δ “amostra” em cada raiz de
, ponderando pela derivada.
Passo 3
Aplicando a
, suas raízes são
e
. A derivada é
, logo
Substituindo na fórmula da δ, obtemos
Passo 4
Assim chegamos exatamente à expressão pedida, usando a propriedade de mudança de variável da distribuição delta.