Considere a palavra LÓGICA:
a) Quantas permutações (anagramas) podemos formar?
b) Quantos anagramas começam com L?
c) Quantos começam com LO?
d) Quantos começam e terminam com vogal?
e) Quantos começam com consoante e terminam com vogal?
f) Em quantos anagramas as letras L, O, G estão juntas, nessa ordem?
g) Em quantos as letras L, O, G estão juntas?

Passo 1

O enunciado pede para contar permutações (anagramas) da palavra LÓGICA, que tem 6 letras distintas: L, O, G, I, C e A. O conteúdo é permutações de elementos distintos, com restrições de posições (fixas na frente, no fim, blocos) e classificação em vogais/consoantes.

Passo 2

Para (a), sem nenhuma restrição, permutamos as 6 letras distintas. O número de anagramas é
6! = 720.

Passo 3

Para (b), queremos apenas os anagramas que começam com L. Fixando L na primeira posição, permutam-se as outras 5 letras em qualquer ordem, gerando
5! = 120
anagramas.

Passo 4

Para (c), queremos anagramas que começam com LO. Fixando L na posição 1 e O na posição 2, permutam-se as demais 4 letras, resultando
4! = 24
anagramas.

Passo 5

Para (d), anagramas que começam e terminam com vogal. As vogais são O, I e A (3 escolhas). Para o início escolhemos 1 das 3 e, para o fim, 1 das 2 vogais restantes, dando 3\times2 escolhas de par (início, fim). As 4 letras restantes vão no meio em qualquer ordem, ou seja, 4!. Logo o total é
3\times 2\times 4! = 6\times 24 = 144.

Passo 6

Para (e), anagramas que começam com consoante e terminam com vogal. Consoantes {L,G,C} dão 3 escolhas para o início, vogais {O,I,A} dão 3 escolhas para o fim, e as 4 letras restantes se permutam livremente no meio:
3\times 3\times 4! = 9\times 24 = 216.

Passo 7

Para (f), anagramas em que L, O e G aparecem juntas nessa ordem “LOG”. Tratamos o bloco “LOG” como um único elemento, junto com as outras 3 letras (I, C, A), totalizando 4 itens distintos. O número de permutações desses 4 itens é
4! = 24,
e a ordem interna do bloco já está fixa, então permanece 24.

Passo 8

Para (g), anagramas em que L, O e G estão juntas em qualquer ordem. Novamente temos o bloco das 3 letras mais as 3 outras, total de 4 itens, permutáveis em 4! maneiras, e dentro do bloco podemos ordenar L, O e G de 3! formas. Logo
4!\times 3! = 24\times 6 = 144.

Resposta

(a) 720
(b) 120
(c) 24
(d) 144
(e) 216
(f) 24
(g) 144

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