Considere o paralelepípedo com as arestas adjacentes
\begin{aligned} \mathbf{u} & =3 \mathbf{i}+2 \mathbf{j}+\mathbf{k} \\\ \mathbf{v} & =\mathbf{i}+\mathbf{j}+2 \mathbf{k} \\\ \mathbf{w} & =\mathbf{i}+3 \mathbf{j}+3 \mathbf{k} \end{aligned}
a) Encontre o volume.
b) Encontre a área da face determinada por \mathbf{u e w}.
c) Encontre o ângulo entre \mathbf{u} e o plano contendo a face determinada por \mathbf{v} e \mathbf{w}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores
\mathbf{u} = 3\mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k},\quad \mathbf{v} = \mathbf{i}+\mathbf{j}+2\mathbf{k},\quad \mathbf{w} = \mathbf{i}+3\mathbf{j}+3\mathbf{k}
que são arestas adjacentes de um paralelepípedo.
a) Para o volume faremos o produto misto \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).
b) Para a área da face determinada por \mathbf{u} e \mathbf{w} usaremos \|\mathbf{u}\times\mathbf{w}\|.
c) Para o ângulo entre \mathbf{u} e o plano de \mathbf{v} e \mathbf{w} vamos usar o vetor normal \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w} e relacionar com \mathbf{u}.

Passo 2

Calcular o produto misto para o volume. Primeiro o vetor normal
\mathbf{v}\times\mathbf{w} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&2\\\\ 1&3&3 \end{vmatrix} =-3\,\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\,\mathbf{k}.
Em seguida o produto escalar
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) =(3,2,1)\cdot(-3,-1,2)=-9.
O volume é o valor absoluto desse resultado:
V = \bigl|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr| = 9.

Passo 3

Calcular a área da face gerada por \mathbf{u} e \mathbf{w}. Primeiro o produto vetorial
\mathbf{u}\times\mathbf{w} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 3&2&1\\\\ 1&3&3 \end{vmatrix} =3\,\mathbf{i}-8\,\mathbf{j}+7\,\mathbf{k}.
O módulo desse vetor é
\|\mathbf{u}\times\mathbf{w}\| =\sqrt{3^2+(-8)^2+7^2} =\sqrt{9+64+49} =\sqrt{122}.
Portanto, a área da face é \sqrt{122}.

Passo 4

Determinar o ângulo \varphi entre \mathbf{u} e o plano gerado por \mathbf{v},\mathbf{w}.
O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}=(-3,-1,2).
O ângulo entre \mathbf{u} e o plano satisfaz
\sin\varphi =\frac{\bigl|\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}\bigr|}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{n}\|}.
Calculamos \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}=-9, \|\mathbf{u}\|=\sqrt{3^2+2^2+1^2}=\sqrt{14}, \|\mathbf{n}\|=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{14}.
Logo
\sin\varphi = \frac{9}{\sqrt{14}\,\sqrt{14}} = \frac{9}{14}, \varphi = \arcsin\!\bigl(\tfrac{9}{14}\bigr).

Resposta

a) 9
b) \sqrt{122}
c) \varphi = \arcsin\!\bigl(\tfrac{9}{14}\bigr)

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