1. 6 Considere uma parede composta por três camadas planas, A, B e C, com espessuras L_{A}= 30 \mathrm{~mm}, L_{B}=30 \mathrm{~mm} e L_{C}=20 \mathrm{~mm}. As condutividades térmicas são k_{A}=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} e k_{C}= 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, enquanto o material B apresenta geração volumétrica uniforme de calor. As superfícies externas estão expostas a um fluido a T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente convectivo h=1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. As temperaturas nas interfaces entre as camadas são T_{1}=261^{\circ} \mathrm{C} (entre A e B ) e T_{2}=211^{\circ} \mathrm{C} (entre B e C ). Admitindo regime permanente, condução unidimensional, propriedades constantes e desprezando resistências térmicas de contato, determine a taxa de geração volumétrica de calor no material B e sua condutividade térmica k_{B}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei alguns dados da imagem):
  • Espessuras (convertidas para metros):
    • L_{A}=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m}.
    • L_{B}=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m} (na figura a camada B aparece com largura 2L_{B}; por isso vou considerar que a espessura total da camada B é L_{\!B,\text{total}}=2L_{B}=2\cdot0,03\\ \mathrm{m}=0,06\\ \mathrm{m}. Extraí essa informação visualmente da imagem).
    • L_{C}=20\\ \mathrm{mm}=0,02\\ \mathrm{m}.
  • Condutividades térmicas:
    • k_{A}=25\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • k_{C}=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • k_{B} é desconhecida e deve ser determinada.
  • Geração volumétrica uniforme no material B: densidade de geração \dot{q}''' (desconhecida).
  • Condições de contorno externas:
    • Fluido à temperatura T_{\infty}=25{^\circ}\mathrm{C}.
    • Coeficiente convectivo h=1000\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
  • Temperaturas nas interfaces (dadas no enunciado / figura):
    • Entre A e B: T_{1}=261{^\circ}\mathrm{C}.
    • Entre B e C: T_{2}=211{^\circ}\mathrm{C}.
  • O que se pede:
    1. Determinar a taxa de geração volumétrica \dot{q}''' no material B.
    2. Determinar a condutividade térmica k_{B} do material B.
Observação: assumimos regime permanente, condução unidimensional, propriedades constantes e resistências de contato desprezíveis.

Passo 2

Estratégia física e fórmulas básicas que vou usar (passo-a-passo didático):
  • Para as camadas sem geração (A e C), em regime permanente a taxa de calor por unidade de área (fluxo de calor superficial) que atravessa a camada e a interface é a mesma que sai/entra por convecção à superfície externa. Posso modelar cada lado (esquerdo/direito) como uma resistência térmica em série: resistência convectiva externa R_{\text{conv}}=1/(hA) e resistência de condução na camada R_{\text{cond}}=L/kA. Vou trabalhar por unidade de área, ou seja A=1\\ \mathrm{m^{2}}, então R_{\text{conv}}=1/h e R_{\text{cond}}=L/k.
  • Para o lado esquerdo (fluido à esquerda → camada A → interface em T_{1}), o fluxo por unidade de área que sai da interface para o fluido é \dot{q}''_{L}=\frac{T_{1}-T_{\infty}}{R_{A}+R_{\text{conv}}}com R_{A}=L_{A}/k_{A} e R_{\text{conv}}=1/h.
  • Analogamente, para o lado direito (interface em T_{2} → camada C → fluido direito), \dot{q}''_{R}=\frac{T_{2}-T_{\infty}}{R_{C}+R_{\text{conv}}}com R_{C}=L_{C}/k_{C}.
Agora calculo numericamente os resistores e fluxos:
  • R_{\text{conv}}=\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{1000}=0,001\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
  • R_{A}=\dfrac{L_{A}}{k_{A}}=\dfrac{0,03}{25}=0,0012\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
    • Assim R_{A}+R_{\text{conv}}=0,0012+0,001=0,0022\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
  • R_{C}=\dfrac{L_{C}}{k_{C}}=\dfrac{0,02}{50}=0,0004\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
    • Assim R_{C}+R_{\text{conv}}=0,0004+0,001=0,0014\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
Cálculo dos fluxos (por unidade de área):
  • Lado esquerdo: \dot{q}''_{L}=\frac{T_{1}-T_{\infty}}{R_{A}+R_{\text{conv}}} =\frac{261-25}{0,0022}=\frac{236}{0,0022}\\ \mathrm{W/m^{2}}.Faço a divisão: \dot{q}''_{L}\approx107272{,}73\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Lado direito: \dot{q}''_{R}=\frac{T_{2}-T_{\infty}}{R_{C}+R_{\text{conv}}} =\frac{211-25}{0,0014}=\frac{186}{0,0014}\\ \mathrm{W/m^{2}}.Assim: \dot{q}''_{R}\approx132857{,}14\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Comentário didático curto: esses \dot{q}'' são os fluxos por unidade de área que saem da camada B para as extremidades esquerda e direita, respectivamente. Eles dependem só das resistências externas e das temperaturas de interface fornecidas.

Passo 3

Determinar a geração volumétrica \dot{q}''':
  • Princípio de conservação de energia (regime permanente) para a camada B: a potência gerada por unidade de área dentro de B (isto é \dot{q}''' multiplicado pela espessura total de B) deve ser igual à soma dos fluxos que saem para os dois lados: \dot{q}''' \, L_{\!B,\text{total}}=\dot{q}''_{L}+\dot{q}''_{R}.
  • A espessura total de B que usei é L_{\!B,\text{total}}=2L_{B}=0,06\\ \mathrm{m} (conforme extraído da figura).
  • Então \dot{q}'''=\frac{\dot{q}''_{L}+\dot{q}''_{R}}{L_{\!B,\text{total}}} =\frac{107272{,}73+132857{,}14}{0,06}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
  • Somando e dividindo: \dot{q}'''=\frac{240129{,}87}{0,06}\approx4002164{,}5\\ \mathrm{W/m^{3}}.
Arredondando para três algarismos significativos, obtenho
\dot{q}'''\approx4{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
Breve interpretação: o valor é alto porque as temperaturas de interface são muito elevadas e o coeficiente convectivo é grande, resultando em grandes fluxos; como a camada B é relativamente espessa, a geração volumétrica necessária para manter essas interfaces nas temperaturas dadas é alta.

Passo 4

Determinar k_{B} a partir das condições de temperatura nas faces de B:
  • Equação geral de temperatura para condução unidimensional em regime permanente com geração volumétrica uniforme \dot{q}''' e condutividade k_{B} é (por unidade de área):
    -k_{B}\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=\dot{q}'''
    Integrando duas vezes (solução geral):
    T(x)=-\frac{\dot{q}'''}{2k_{B}}x^{2}+C_{1}x+C_{2},
    onde x é a coordenada ao longo da espessura de B, tomada aqui com x=0 na face esquerda (interface com A) e x=L_{\!B,\text{total}} na face direita (interface com C).
  • As constantes C_{1} e C_{2} são obtidas pelas condições:
    • T(0)=T_{1}=C_{2}.
    • T(L_{\!B,\text{total}})=T_{2}=-\dfrac{\dot{q}'''}{2k_{B}}L^{2}+C_{1}L+C_{2}, onde escrevo L\equiv L_{\!B,\text{total}}.
  • Além disso, o fluxo na face esquerda está relacionado à derivada:
    \dot{q}''_{L}=-k_{B}\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=-k_{B}C_{1} \quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\frac{\dot{q}''_{L}}{k_{B}}.
  • Substituindo C_{1} e C_{2}=T_{1} na expressão para T(L):
    T_{2}= -\frac{\dot{q}'''}{2k_{B}}L^{2} -\frac{\dot{q}''_{L}}{k_{B}}L + T_{1}.
    Reorganizando para isolar k_{B}:
    k_{B}(T_{2}-T_{1}) = -\frac{\dot{q}'''}{2}L^{2} - \dot{q}''_{L}L.
    Portanto
    k_{B} = \frac{-\dfrac{\dot{q}'''}{2}L^{2} - \dot{q}''_{L}L}{T_{2}-T_{1}}.
  • Agora substituo os valores numéricos já obtidos:
    • L=0,06\\ \mathrm{m}.
    • \dot{q}'''=4002164{,}5\\ \mathrm{W/m^{3}}.
    • \dot{q}''_{L}=107272{,}73\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    • T_{2}-T_{1}=211-261=-50\\ \mathrm{K}.
Calculo passo a passo:
  • L^{2}=(0,06)^{2}=0,0036\\ \mathrm{m^{2}}.
  • \dfrac{\dot{q}'''}{2}L^{2}=\dfrac{4002164{,}5}{2}\cdot0,0036 \approx7203{,}8961\\ \mathrm{W/m}.
  • \dot{q}''_{L}L=107272{,}73\cdot0,06\approx6436{,}3638\\ \mathrm{W/m}.
  • Numerador: -\frac{\dot{q}'''}{2}L^{2}-\dot{q}''_{L}L\approx -7203{,}8961 -6436{,}3638 = -13640{,}2599\\ \mathrm{W/m}.
  • Dividindo pelo denominador T_{2}-T_{1}=-50: k_{B}=\frac{-13640{,}2599}{-50}\approx272{,}8052\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Arredondando para três algarismos significativos:
k_{B}\approx273\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Comentário de verificação rápida: usando esse k_{B} e a solução de T(x) (não mostrada inteira aqui) a derivada em x=0 dá exatamente o \dot{q}''_{L} que calculámos a partir das resistências externas, então o cálculo é consistente.

Resposta

\dot{q}''' \approx 4{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{W/m^{3}}
k_{B} \approx 273\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}

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