6 Considere uma parede composta por três camadas planas, A, B e C, com espessuras L_{A}= 30 \mathrm{~mm}, L_{B}=30 \mathrm{~mm} e L_{C}=20 \mathrm{~mm}. As condutividades térmicas são k_{A}=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} e k_{C}= 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, enquanto o material B apresenta geração volumétrica uniforme de calor. As superfícies externas estão expostas a um fluido a T_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C} com coeficiente convectivo h=1000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. As temperaturas nas interfaces entre as camadas são T_{1}=261^{\circ} \mathrm{C} (entre A e B ) e T_{2}=211^{\circ} \mathrm{C} (entre B e C ). Admitindo regime permanente, condução unidimensional, propriedades constantes e desprezando resistências térmicas de contato, determine a taxa de geração volumétrica de calor no material B e sua condutividade térmica k_{B}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei alguns dados da imagem):
Espessuras (convertidas para metros):
L_{A}=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m}.
L_{B}=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m} (na figura a camada B aparece com largura 2L_{B}; por isso vou considerar que a espessura total da camada B é L_{\!B,\text{total}}=2L_{B}=2\cdot0,03\\ \mathrm{m}=0,06\\ \mathrm{m}. Extraí essa informação visualmente da imagem).
L_{C}=20\\ \mathrm{mm}=0,02\\ \mathrm{m}.
Condutividades térmicas:
k_{A}=25\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
k_{C}=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
k_{B} é desconhecida e deve ser determinada.
Geração volumétrica uniforme no material B: densidade de geração \dot{q}''' (desconhecida).
Condições de contorno externas:
Fluido à temperatura T_{\infty}=25{^\circ}\mathrm{C}.
Temperaturas nas interfaces (dadas no enunciado / figura):
Entre A e B: T_{1}=261{^\circ}\mathrm{C}.
Entre B e C: T_{2}=211{^\circ}\mathrm{C}.
O que se pede:
Determinar a taxa de geração volumétrica \dot{q}''' no material B.
Determinar a condutividade térmica k_{B} do material B.
Observação: assumimos regime permanente, condução unidimensional, propriedades constantes e resistências de contato desprezíveis.
Passo 2
Estratégia física e fórmulas básicas que vou usar (passo-a-passo didático):
Para as camadas sem geração (A e C), em regime permanente a taxa de calor por unidade de área (fluxo de calor superficial) que atravessa a camada e a interface é a mesma que sai/entra por convecção à superfície externa. Posso modelar cada lado (esquerdo/direito) como uma resistência térmica em série: resistência convectiva externa R_{\text{conv}}=1/(hA) e resistência de condução na camada R_{\text{cond}}=L/kA. Vou trabalhar por unidade de área, ou seja A=1\\ \mathrm{m^{2}}, então R_{\text{conv}}=1/h e R_{\text{cond}}=L/k.
Para o lado esquerdo (fluido à esquerda → camada A → interface em T_{1}), o fluxo por unidade de área que sai da interface para o fluido é\dot{q}''_{L}=\frac{T_{1}-T_{\infty}}{R_{A}+R_{\text{conv}}}com R_{A}=L_{A}/k_{A} e R_{\text{conv}}=1/h.
Analogamente, para o lado direito (interface em T_{2} → camada C → fluido direito),\dot{q}''_{R}=\frac{T_{2}-T_{\infty}}{R_{C}+R_{\text{conv}}}com R_{C}=L_{C}/k_{C}.
Agora calculo numericamente os resistores e fluxos:
Assim R_{C}+R_{\text{conv}}=0,0004+0,001=0,0014\\ \mathrm{m^{2}K/W}.
Cálculo dos fluxos (por unidade de área):
Lado esquerdo:\dot{q}''_{L}=\frac{T_{1}-T_{\infty}}{R_{A}+R_{\text{conv}}} =\frac{261-25}{0,0022}=\frac{236}{0,0022}\\ \mathrm{W/m^{2}}.Faço a divisão:\dot{q}''_{L}\approx107272{,}73\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Lado direito:\dot{q}''_{R}=\frac{T_{2}-T_{\infty}}{R_{C}+R_{\text{conv}}} =\frac{211-25}{0,0014}=\frac{186}{0,0014}\\ \mathrm{W/m^{2}}.Assim:\dot{q}''_{R}\approx132857{,}14\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Comentário didático curto: esses \dot{q}'' são os fluxos por unidade de área que saem da camada B para as extremidades esquerda e direita, respectivamente. Eles dependem só das resistências externas e das temperaturas de interface fornecidas.
Passo 3
Determinar a geração volumétrica \dot{q}''':
Princípio de conservação de energia (regime permanente) para a camada B: a potência gerada por unidade de área dentro de B (isto é \dot{q}''' multiplicado pela espessura total de B) deve ser igual à soma dos fluxos que saem para os dois lados:\dot{q}''' \, L_{\!B,\text{total}}=\dot{q}''_{L}+\dot{q}''_{R}.
A espessura total de B que usei é L_{\!B,\text{total}}=2L_{B}=0,06\\ \mathrm{m} (conforme extraído da figura).
Breve interpretação: o valor é alto porque as temperaturas de interface são muito elevadas e o coeficiente convectivo é grande, resultando em grandes fluxos; como a camada B é relativamente espessa, a geração volumétrica necessária para manter essas interfaces nas temperaturas dadas é alta.
Passo 4
Determinar k_{B} a partir das condições de temperatura nas faces de B:
Equação geral de temperatura para condução unidimensional em regime permanente com geração volumétrica uniforme \dot{q}''' e condutividade k_{B} é (por unidade de área):
onde x é a coordenada ao longo da espessura de B, tomada aqui com x=0 na face esquerda (interface com A) e x=L_{\!B,\text{total}} na face direita (interface com C).
As constantes C_{1} e C_{2} são obtidas pelas condições:
T(0)=T_{1}=C_{2}.
T(L_{\!B,\text{total}})=T_{2}=-\dfrac{\dot{q}'''}{2k_{B}}L^{2}+C_{1}L+C_{2}, onde escrevo L\equiv L_{\!B,\text{total}}.
Além disso, o fluxo na face esquerda está relacionado à derivada:
Dividindo pelo denominador T_{2}-T_{1}=-50:k_{B}=\frac{-13640{,}2599}{-50}\approx272{,}8052\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Arredondando para três algarismos significativos:
k_{B}\approx273\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Comentário de verificação rápida: usando esse k_{B} e a solução de T(x) (não mostrada inteira aqui) a derivada em x=0 dá exatamente o \dot{q}''_{L} que calculámos a partir das resistências externas, então o cálculo é consistente.