4.1 Considere um duto cilíndrico de diametro
embutido em um bloco de concreto de largura
e comprimento
. A água escoa no interior do duto com temperatura de entrada
, enquanto o ar ambiente externo está a
, com coeficiente convectivo
. A condutividade térmica do concreto é
. Admitindo regime permanente, propriedades constantes e desprezando as resistências térmicas associadas ao escoamento interno, à parede do tubo e ao contato tubo-concreto, determine: (a) a perda de calor por unidade de comprimento do duto próxima à entrada; (b) a vazão mássica mínima de água para que a elevação de temperatura ao longo do duto não exceda
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) determinar a perda de calor por unidade de comprimento do duto próxima à entrada (ou seja,
em W/m); - (b) determinar a vazão mássica mínima de água
para que a variação de temperatura da água ao longo do duto não exceda .
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado e da figura):
- diâmetro do duto:
; - largura do bloco:
; - comprimento do duto:
; - temperatura de entrada da água:
; - temperatura do ar ambiente:
; - coeficiente convectivo externo:
; - condutividade térmica do concreto:
; - calor específico da água:
(fornecido na figura).
Observações que vou usar sem pedir mais nada:
- a resistência térmica interna ao escoamento, a parede do tubo e o contato tubo–concreto são desprezados, portanto a superfície do concreto em contato com o duto está, na prática, à temperatura
; - o duto está centrado na largura do bloco (pela figura), então a distância do centro do duto até a face externa é
. Assim a camada de concreto entre a superfície do tubo e a face externa tem espessura com sendo o raio externo do tubo e a distância do centro até a face externa; - vou modelar o escoamento do calor do duto para o exterior como condução cilíndrica no concreto até uma superfície de raio
seguida de convecção externa sobre essa superfície (modelo clássico cilindro com convecção na superfície externa).
Passo 2
Definições geométricas que vamos usar (tudo em metros):
- raio externo do tubo (ponto onde começa o concreto):
- distância do centro do tubo até a face externa do bloco:
Explicação física e escolha do modelo (breve aula):
- Para um problema de condução em torno de um eixo (tubo) a solução analítica mais simples é o caso cilíndrico: a resistência de condução por unidade de comprimento entre dois raios
e em um meio homogêneo com condutividade é dada por
Rascunho da origem dessa fórmula: pela lei de Fourier, o fluxo radial por unidade de comprimento é
. Integrando de
a
obtém-se a relação linear entre diferença de temperatura e fluxo que conduz à resistência acima.
- A convecção na superfície externa (raio
) fornece uma resistência por unidade de comprimento
pois a área de convecção por unidade de comprimento é
.
- Como as resistências estão em série (condução no concreto seguida de convecção para o ar), a resistência térmica total por unidade de comprimento é
- A perda de calor por unidade de comprimento é então
Passo 3
Escrever as fórmulas com os valores simbólicos e depois substituir números.
Condução:
Convecção:
Resistência total:
Perda de calor por unidade de comprimento:
Agora vamos calcular passo a passo os termos numéricos.
Passo 4
Cálculos numéricos detalhados.
Primeiro calculemos
:
Termo
:
Assim
Agora
:
Resistência total por metro:
Diferença de temperatura:
Perda de calor por unidade de comprimento:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 5
Agora a vazão mássica mínima
para que a elevação (variação) de temperatura da água ao longo do duto não exceda
.
Princípio físico e fórmula (aula curta):
- Em regime permanente, a taxa total de calor removida da água ao longo do comprimento
é igual à potência perdida para o meio exterior:
- A energia retirada da água causa uma variação de temperatura
. A relação entre potência e vazão mássica é
- Logo
Substituindo números:
Arredondando:
Passo 6
Breve comentário final (para prova e intuição):
- A resposta usa o modelo cilíndrico de condução no concreto até uma superfície de raio
com convecção externa. Isso é a aproximação clássica e compatível com as hipóteses do enunciado (desprezar resistências internas e de parede). - Se a geometria real ou a distribuição de faces expostas for muito diferente, o resultado mudaria; mas para o enunciado dado estes resultados são os esperados.
Resposta
(a)
(b)