4.1 Considere um duto cilíndrico de diametro D=0,15 \mathrm{~m} embutido em um bloco de concreto de largura w=0,30 \mathrm{~m} e comprimento L=100 \mathrm{~m}. A água escoa no interior do duto com temperatura de entrada T_{i}=90^{\circ} \mathrm{C}, enquanto o ar ambiente externo está a T_{\infty}=0^{\circ} \mathrm{C}, com coeficiente convectivo h=25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. A condutividade térmica do concreto é k=1,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. Admitindo regime permanente, propriedades constantes e desprezando as resistências térmicas associadas ao escoamento interno, à parede do tubo e ao contato tubo-concreto, determine: (a) a perda de calor por unidade de comprimento do duto próxima à entrada; (b) a vazão mássica mínima de água para que a elevação de temperatura ao longo do duto não exceda 5^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a perda de calor por unidade de comprimento do duto próxima à entrada (ou seja, \dot q' em W/m);
  • (b) determinar a vazão mássica mínima de água \dot m para que a variação de temperatura da água ao longo do duto não exceda 5^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado e da figura):
  • diâmetro do duto: D=0{,}15\\ \mathrm{m};
  • largura do bloco: w=0{,}30\\ \mathrm{m};
  • comprimento do duto: L=100\\ \mathrm{m};
  • temperatura de entrada da água: T_i=90^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do ar ambiente: T_\infty=0^\circ\mathrm{C};
  • coeficiente convectivo externo: h=25\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}};
  • condutividade térmica do concreto: k=1{,}4\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}};
  • calor específico da água: c_p=4207\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} (fornecido na figura).
Observações que vou usar sem pedir mais nada:
  • a resistência térmica interna ao escoamento, a parede do tubo e o contato tubo–concreto são desprezados, portanto a superfície do concreto em contato com o duto está, na prática, à temperatura T_i;
  • o duto está centrado na largura do bloco (pela figura), então a distância do centro do duto até a face externa é w/2. Assim a camada de concreto entre a superfície do tubo e a face externa tem espessura b-a com a sendo o raio externo do tubo e b a distância do centro até a face externa;
  • vou modelar o escoamento do calor do duto para o exterior como condução cilíndrica no concreto até uma superfície de raio b seguida de convecção externa sobre essa superfície (modelo clássico cilindro com convecção na superfície externa).

Passo 2

Definições geométricas que vamos usar (tudo em metros):
  • raio externo do tubo (ponto onde começa o concreto): \displaystyle a=\frac{D}{2}=\frac{0{,}15}{2}=0{,}075\\ \mathrm{m}.
  • distância do centro do tubo até a face externa do bloco: \displaystyle b=\frac{w}{2}=\frac{0{,}30}{2}=0{,}15\\ \mathrm{m}.
Explicação física e escolha do modelo (breve aula):
  • Para um problema de condução em torno de um eixo (tubo) a solução analítica mais simples é o caso cilíndrico: a resistência de condução por unidade de comprimento entre dois raios a e b em um meio homogêneo com condutividade k é dada por
R'_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Rascunho da origem dessa fórmula: pela lei de Fourier, o fluxo radial por unidade de comprimento é \dot q' = -2\pi k\,\frac{dT}{d(\ln r)}. Integrando de r=a a r=b obtém-se a relação linear entre diferença de temperatura e fluxo que conduz à resistência acima.
  • A convecção na superfície externa (raio b) fornece uma resistência por unidade de comprimento
R'_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,(2\pi b)},
pois a área de convecção por unidade de comprimento é 2\pi b\cdot 1.
  • Como as resistências estão em série (condução no concreto seguida de convecção para o ar), a resistência térmica total por unidade de comprimento é
R'_{\text{tot}}=R'_{\text{cond}}+R'_{\text{conv}}.
  • A perda de calor por unidade de comprimento é então
\dot q'=\frac{T_i-T_\infty}{R'_{\text{tot}}}.

Passo 3

Escrever as fórmulas com os valores simbólicos e depois substituir números.
Condução:
R'_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Convecção:
R'_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi b}.
Resistência total:
R'_{\text{tot}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)+\frac{1}{h\,2\pi b}.
Perda de calor por unidade de comprimento:
\dot q'=\frac{T_i-T_\infty}{R'_{\text{tot}}}.
Agora vamos calcular passo a passo os termos numéricos.

Passo 4

Cálculos numéricos detalhados.
Primeiro calculemos \ln(b/a):
\frac{b}{a}=\frac{0{,}15}{0{,}075}=2,\qquad \ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln 2\approx0{,}6931.
Termo 1/(2\pi k):
\frac{1}{2\pi k}=\frac{1}{2\pi\cdot1{,}4}=\frac{1}{8{,}79646}\approx0{,}11369\\ \mathrm{(K\cdot m)/W}.
Assim
R'_{\text{cond}}=0{,}11369\cdot 0{,}6931\approx0{,}07884\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
Agora R'_{\text{conv}}:
2\pi b=2\pi\cdot0{,}15\approx0{,}94248\\ \mathrm{m}, \qquad h\,(2\pi b)=25\cdot0{,}94248\approx23{,}562\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
R'_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi b}\approx\frac{1}{23{,}562}\approx0{,}04242\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
Resistência total por metro:
R'_{\text{tot}}=0{,}07884+0{,}04242=0{,}12126\\ \mathrm{K/W\\ per\\ m}.
Diferença de temperatura:
T_i-T_\infty=90^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C}=90\\ \mathrm{K}.
Perda de calor por unidade de comprimento:
\dot q'=\frac{90}{0{,}12126}\approx742{,}5\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\dot q'\approx743\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Agora a vazão mássica mínima \dot m para que a elevação (variação) de temperatura da água ao longo do duto não exceda 5^\circ\mathrm{C}.
Princípio físico e fórmula (aula curta):
  • Em regime permanente, a taxa total de calor removida da água ao longo do comprimento L é igual à potência perdida para o meio exterior:
\dot Q_{\text{total}}=\dot q'\,L.
  • A energia retirada da água causa uma variação de temperatura \Delta T_{\text{fl}}=5\\ \mathrm{K}. A relação entre potência e vazão mássica é
\dot Q_{\text{total}}=\dot m\,c_p\,\Delta T_{\text{fl}}.
  • Logo
\dot m=\frac{\dot Q_{\text{total}}}{c_p\,\Delta T_{\text{fl}}}=\frac{\dot q'\,L}{c_p\,\Delta T_{\text{fl}}}.
Substituindo números:
\dot Q_{\text{total}}=\dot q'\,L=742{,}5\\ \mathrm{W/m}\times100\\ \mathrm{m}=74\,250\\ \mathrm{W}.
\dot m=\frac{74\,250}{4207\cdot5}=\frac{74\,250}{21\,035}\approx3{,}53\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando: \dot m\approx3{,}53\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Breve comentário final (para prova e intuição):
  • A resposta usa o modelo cilíndrico de condução no concreto até uma superfície de raio b com convecção externa. Isso é a aproximação clássica e compatível com as hipóteses do enunciado (desprezar resistências internas e de parede).
  • Se a geometria real ou a distribuição de faces expostas for muito diferente, o resultado mudaria; mas para o enunciado dado estes resultados são os esperados.

Resposta

(a) \dot q'\approx743\\ \mathrm{W/m}
(b) \dot m_{\min}\approx3{,}53\\ \mathrm{kg/s}

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