Considere uma partícula cujo vetor posição é dado por x(t)=6 \hat{i}+3 t \hat{j}+2 t^{2} \hat{k}, onde \mathfrak{t} é o tempo e \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} são os vetores unitários nas direções x, y, z, respectivamente. A aceleração dessa partícula é igual a
(A) 6 \hat{i}+3 \hat{j}+4 t \hat{k}
(B) 3 \hat{j}+4 t \hat{k}
(C) 4 \hat{k}
(D) 3 t \hat{j}+4 t^{2} \hat{k}

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição
\mathbf{r}(t)=6\hat{i}+3\,t\hat{j}+2\,t^{2}\hat{k}
e pede a aceleração, que é a segunda derivada de \mathbf{r}(t) em relação a t. Vamos aplicar derivada componente a componente.

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}. Derivando cada componente:
\frac{d}{dt}(6)=0,
\frac{d}{dt}(3\,t)=3,
\frac{d}{dt}(2\,t^{2})=4\,t.
Logo
\mathbf{v}(t)=0\hat{i}+3\hat{j}+4\,t\hat{k}.

Passo 3

Agora derivamos \mathbf{v}(t) para obter a aceleração \mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}. Derivando cada componente de \mathbf{v}(t):
\frac{d}{dt}(0)=0,
\frac{d}{dt}(3)=0,
\frac{d}{dt}(4\,t)=4.
Portanto
\mathbf{a}(t)=0\hat{i}+0\hat{j}+4\hat{k}=4\hat{k}.

Resposta

(C) 4\hat{k}

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