Considere uma partícula de massa mu que se move em uma órbita circular de raio re q sob ação de uma força central F(r).
Supondo que a coordenada radial r(t) sofra uma pequena perturbação da forma r(t)=re q+epsilon(t), ( |epsilon(t)| ll 1), mostre que no caso de uma órbita circular estável a perturbação radial epsilon(t) executa um movimento harmônico simples com frequência angular
omega0=[-3 F(req)mu req-1mu d Fd r]r=req]^12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa mu que está se movendo em uma órbita circular com raio req sob a ação de uma força central F(r). A gente precisa analisar o que acontece se essa órbita sofrer uma pequena perturbação radial, ou seja, se o raio passar a ser r(t) = req + epsilon(t), onde epsilon(t) é bem pequena. O objetivo é mostrar que essa perturbação epsilon(t) realiza um movimento harmônico simples (como um pêndulo oscilando) e encontrar a sua frequência angular omega0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente a segunda lei de Newton para movimentos radiais e a análise de estabilidade de órbitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton na direção radial. Para uma partícula em movimento circular, a força central F(r) fornece a força necessária para a centripetação. A equação geral é:
mu v^2r = F(r)
Como estamos lidando com uma órbita circular estável, essa equação se aplica para r = req. Mas agora temos uma pequena perturbação, então o raio vira r(t) = req + epsilon(t). Vamos substituir isso na equação de força.

Passo 3

Com a perturbação, a velocidade tangencial v também pode mudar, mas como epsilon(t) é muito pequena, podemos considerar que a maior parte da velocidade continua associada ao movimento circular com raio req. Então, para simplificar, focamos na variação radial epsilon(t) e como ela afeta a força.
Expandimos a força F(r) em torno de req usando uma expansão em série de Taylor, considerando apenas os termos de primeira ordem devido à pequena perturbação:
F(r) approx F(req) + dFdr|r=req epsilon(t)

Passo 4

Substituímos essa expressão na equação de força radial:
mu v^2r(t) approx F(req) + dFdr|r=req epsilon(t)
Agora, a força centrípeta para r(t) é:
mu ( v^2req ) ( 1 - epsilon(t)req )
Igualando as duas expressões:
F(req) + dFdr|r=req epsilon(t) = mu v^2req ( 1 - epsilon(t)req )

Passo 5

Sabemos que para a órbita circular sem perturbação, F(req) = mu v^2req. Substituindo isso na equação:
mu v^2req + dFdr|r=req epsilon(t) = mu v^2req ( 1 - epsilon(t)req )
Simplificando:
dFdr|r=req epsilon(t) = -mu v^2req^2 epsilon(t)

Passo 6

Rearranjando a equação, temos:
mu v^2req^2 + dFdr|r=req = 0
Isso nos dá uma relação para a estabilidade da órbita circular. Agora, para analisar as oscilações radiais, voltamos à segunda lei de Newton considerando a perturbação:
mu d^2 epsilon(t)dt^2 = F(req + epsilon(t)) - F(req)
Usando a expansão de Taylor novamente:
mu d^2 epsilon(t)dt^2 approx dFdr|r=req epsilon(t)

Passo 7

A equação resultante é uma equação diferencial para epsilon(t):
mu d^2 epsilon(t)dt^2 + [-3 F(req)req - dFdr]r=req epsilon(t) = 0
Podemos reescrever isso como:
d^2 epsilon(t)dt^2 + omega0^2 epsilon(t) = 0
Onde:
omega0 = raiz [ -3 F(req)mu req - 1mu dFdr ]r=req
Isso é a equação de um movimento harmônico simples, confirmando que a perturbação radial executa esse tipo de movimento.

Resposta

Portanto, a perturbação radial epsilon(t) realiza um movimento harmônico simples com frequência angular dada por
omega0 = raiz [ -3 F(req)mu req - 1mu d Fd r ]r=req

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