Considere uma partícula de massa que se move em uma órbita circular de raio sob ação de uma força central .
Supondo que a coordenada radial sofra uma pequena perturbação da forma , ( , mostre que no caso de uma órbita circular estável a perturbação radial executa um movimento harmônico simples com frequência angular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula de massa que está se movendo em uma órbita circular com raio sob a ação de uma força central . A gente precisa analisar o que acontece se essa órbita sofrer uma pequena perturbação radial, ou seja, se o raio passar a ser , onde é bem pequena. O objetivo é mostrar que essa perturbação realiza um movimento harmônico simples (como um pêndulo oscilando) e encontrar a sua frequência angular . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especialmente a segunda lei de Newton para movimentos radiais e a análise de estabilidade de órbitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton na direção radial. Para uma partícula em movimento circular, a força central fornece a força necessária para a centripetação. A equação geral é:
Como estamos lidando com uma órbita circular estável, essa equação se aplica para . Mas agora temos uma pequena perturbação, então o raio vira . Vamos substituir isso na equação de força.
Passo 3
Com a perturbação, a velocidade tangencial também pode mudar, mas como é muito pequena, podemos considerar que a maior parte da velocidade continua associada ao movimento circular com raio . Então, para simplificar, focamos na variação radial e como ela afeta a força.
Expandimos a força em torno de usando uma expansão em série de Taylor, considerando apenas os termos de primeira ordem devido à pequena perturbação:
Passo 4
Substituímos essa expressão na equação de força radial:
Sabemos que para a órbita circular sem perturbação, F(req) = mu v^2req. Substituindo isso na equação:
mu v^2req + dFdr|r=req epsilon(t) = mu v^2req ( 1 - epsilon(t)req )
Simplificando:
dFdr|r=req epsilon(t) = -mu v^2req^2 epsilon(t)
Passo 6
Rearranjando a equação, temos:
mu v^2req^2 + dFdr|r=req = 0
Isso nos dá uma relação para a estabilidade da órbita circular. Agora, para analisar as oscilações radiais, voltamos à segunda lei de Newton considerando a perturbação:
mu d^2 epsilon(t)dt^2 = F(req + epsilon(t)) - F(req)
Usando a expansão de Taylor novamente:
mu d^2 epsilon(t)dt^2 approx dFdr|r=req epsilon(t)
Passo 7
A equação resultante é uma equação diferencial para epsilon(t):