Considere uma partícula de massa
que se move em uma órbita circular de raio
sob ação de uma força central
.
Para uma força central da forma
, onde
e
são constantes, use o resultado acima para determinar o ângulo apsidal
.
Para uma força central da forma
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a pergunta está pedindo. Temos uma partícula com massa
que está se movendo em uma órbita circular com raio
sob a ação de uma força central da forma
, onde
e
são constantes. Queremos descobrir o ângulo apsidal
, que é basicamente o ângulo entre dois pontos de extrema aproximação na órbita (como o periélio). Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital, principalmente envolvendo forças centrais e movimentos em órbitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula manter uma órbita circular estável, a força central deve fornecer a força centrípeta necessária para o movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Onde
é a velocidade da partícula. Como a força central também é
, podemos igualar as duas expressões (considerando apenas as magnitudes, já que estamos lidando com forças direcionais opostas):
Isso nos dá uma relação entre a velocidade
e o raio
.
Passo 3
Agora, para encontrar o ângulo apsidal
, precisamos entender como a força central influencia a precessão da órbita. O ângulo apsidal depende da forma da força central, especificamente de como ela varia com a distância
.
A relação geral para o ângulo apsidal em potenciais de força central
é dada por:
Essa fórmula mostra que o ângulo apsidal depende diretamente do expoente
da força.
Passo 4
Vamos derivar essa relação. Para uma força central
, a equação da órbita pode ser obtida usando a segunda lei de Newton em coordenadas polares. A solução para essa equação leva a uma órbita que fecha apenas se
for um múltiplo inteiro de
. No nosso caso, a forma geral da solução implica que o ângulo após um ciclo completo é:
Isso significa que a órbita vai precessar um ângulo
a cada ciclo completo.
Resposta
O ângulo apsidal
para a força central
é dado por: