Considere uma partícula de massa mu que se move em uma órbita circular de raio re q sob ação de uma força central F(r).
Para uma força central da forma F(r)=-k r^-n, onde k>0 e n são constantes, use o resultado acima para determinar o ângulo apsidal Psi.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a pergunta está pedindo. Temos uma partícula com massa mu que está se movendo em uma órbita circular com raio req sob a ação de uma força central da forma F(r) = -k r^-n, onde k > 0 e n são constantes. Queremos descobrir o ângulo apsidal Psi, que é basicamente o ângulo entre dois pontos de extrema aproximação na órbita (como o periélio). Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital, principalmente envolvendo forças centrais e movimentos em órbitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula manter uma órbita circular estável, a força central deve fornecer a força centrípeta necessária para o movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = mu v^2req í
Onde v é a velocidade da partícula. Como a força central também é F(r) = -k r^-n, podemos igualar as duas expressões (considerando apenas as magnitudes, já que estamos lidando com forças direcionais opostas):
mu v^2req = k req^-n
Isso nos dá uma relação entre a velocidade v e o raio req.

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo apsidal Psi, precisamos entender como a força central influencia a precessão da órbita. O ângulo apsidal depende da forma da força central, especificamente de como ela varia com a distância r.
A relação geral para o ângulo apsidal em potenciais de força central F(r) = -k r^-n é dada por:
Psi = 2piraiz2 - n
Essa fórmula mostra que o ângulo apsidal depende diretamente do expoente n da força.

Passo 4

Vamos derivar essa relação. Para uma força central F(r) = -k r^-n, a equação da órbita pode ser obtida usando a segunda lei de Newton em coordenadas polares. A solução para essa equação leva a uma órbita que fecha apenas se Psi for um múltiplo inteiro de 2pi. No nosso caso, a forma geral da solução implica que o ângulo após um ciclo completo é:
Psi = 2piraiz2 - n
Isso significa que a órbita vai precessar um ângulo Psi a cada ciclo completo.

Resposta

O ângulo apsidal Psi para a força central F(r) = -k r^-n é dado por:
Psi = 2piraiz2 - n

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