Considere uma partícula de spin 12 e momento magnético M=gamma S. O espaço de estados de spin é gerado pelos vetores de base |+rang<= e |-rang<=, autovetores de Sz com autovalores +hbar2 e -hbar2 respectivamente. No tempo t=0, o estado do sistema é:
|psi(t=0)rang<==|+rang<=
a) Se a observável Sx é medida em t=0, que resultados podem ser encontrados e com quais probabilidades?
b) Ao invés de realizarmos a medida anterior, deixamos o sistema evoluir sob a influência de um campo magnético paralelo a O Y, de módulo B0. Calcule, na base |+rang<=,|-rang<=, o estado do sistema no tempo t
c) No tempo t, medimos as observáveis Sx, Sy e Sz. Que valores podemos encontrar e com quais probabilidades?
d) Compares os valores esperados de Sx, Sy e Sz em t=0 e no instante t

Passo 1

O problema envolve uma partícula de spin 1/2 com momento magnético vec M=gammavec S. A base de spin é dada por |+rang<= e |-rang<=, autovetores de Sz com autovalores +hbar/2 e -hbar/2. No tempo t=0 temos |psi(0)rang<==|+rang<=. Precisamos calcular: (a) probabilidades de medir Sx em t=0; (b) evolução sob campo vec B=B0,hat y; © probabilidades de Sx, Sy, Sz em tempo t; (d) valores esperados em t=0 e t.

Passo 2

Para medir Sx em t=0, escrevemos |+rang<= na base de autoestados de Sx, que são
|+xrang<==tfrac1raiz2(|+rang<=+|-rang<=),|-xrang<==tfrac1raiz2(|+rang<=-|-rang<=)
Invertemos e obtemos
|+rang<==tfrac1raiz2(|+xrang<=+|-xrang<=)
Logo as probabilidades de obter +hbar/2 ou -hbar/2 ao medir Sx são ambas
Pl(Sx=+tfrachbar2r)=Pl(Sx=-tfrachbar2r)=tfrac12

Passo 3

O Hamiltoniano na presença de vec B=B0,hat y é
H=-gamma,vec Bcdotvec S=-gamma B0 Sy=-hbaromega02,sigmay,
onde omega0=gamma B0. Assim o operador de evolução é
U(t)=e^-iHt/hbar=e^iomega0t2,sigmay
Aplicando em |+rang<= e usando
e^ialphasigmay=cosalpha,I+isinalpha,sigmay,sigmay|+rang<==i| -rang<=,
com alpha=omega0t/2, obtemos
|psi(t)rang<==cosomega0t2,|+rang<=-sinomega0t2,|-rang<=

Passo 4

Para as medidas em tempo t usamos |psi(t)rang<==costfracomega0t2|+rang<=-sintfracomega0t2|-rang<=:
  • Em Sz, temos
Pl(Sz=+tfrachbar2r)=cos^2tfracomega0t2, Pl(Sz=-tfrachbar2r)=sin^2tfracomega0t2
  • Em Sx, com |pmxrang<==tfrac1raiz2(|+rang<=pm|-rang<=), achamos
Pl(Sx=+tfrachbar2r)=tfrac12l[1-sin(omega0t)r], Pl(Sx=-tfrachbar2r)=tfrac12l[1+sin(omega0t)r]
  • Em Sy, usando |pmyrang<==tfrac1raiz2(|+rang<=pm i|-rang<=), obtemos
Pl(Sy=+tfrachbar2r)=Pl(Sy=-tfrachbar2r)=tfrac12

Passo 5

Os valores esperados são dados por =sumk Pi(k),k. Assim:
lang<= Szrang<=(t)=tfrachbar2cos(omega0t), lang<= Sxrang<=(t)=-tfrachbar2sin(omega0t), lang<= Syrang<=(t)=0
Em t=0 tínhamos
lang<= Szrang<=(0)=tfrachbar2,lang<= Sxrang<=(0)=0,lang<= Syrang<=(0)=0

Resposta

a) Ao medir Sx em t=0 obtemos
P(Sx=+tfrachbar2)=P(Sx=-tfrachbar2)=tfrac12
b) Sob vec B=B0hat y, com omega0=gamma B0,
|psi(t)rang<==costfracomega0t2,|+rang<=-sintfracomega0t2,|-rang<=
c) Em t:
  • Sz: P(+)=cos^2tfracomega0t2,;P(-)=sin^2tfracomega0t2.
  • Sx: P(+)=tfrac12[1-sin(omega0t)],;P(-)=tfrac12[1+sin(omega0t)].
  • Sy: P(+)=P(-)=tfrac12.
d) Valores esperados:
lang<= Szrang<=(0)=tfrachbar2,;lang<= Sxrang<=(0)=lang<= Syrang<=(0)=0;
lang<= Szrang<=(t)=tfrachbar2cos(omega0t),;lang<= Sxrang<=(t)=-tfrachbar2sin(omega0t),;lang<= Syrang<=(t)=0

Exercícios relacionados