Considere uma partícula de spin
e momento magnético
. O espaço de estados de spin é gerado pelos vetores de base
e
, autovetores de
com autovalores
e
respectivamente. No tempo
, o estado do sistema é:
a) Se a observável
é medida em
, que resultados podem ser encontrados e com quais probabilidades?
b) Ao invés de realizarmos a medida anterior, deixamos o sistema evoluir sob a influência de um campo magnético paralelo a
, de módulo
. Calcule, na base
, o estado do sistema no tempo
c) No tempo
, medimos as observáveis
e
. Que valores podemos encontrar e com quais probabilidades?
d) Compares os valores esperados de
e
em
e no instante
b) Ao invés de realizarmos a medida anterior, deixamos o sistema evoluir sob a influência de um campo magnético paralelo a
c) No tempo
d) Compares os valores esperados de
Passo 1
O problema envolve uma partícula de spin 1/2 com momento magnético
. A base de spin é dada por
e
, autovetores de
com autovalores
e
. No tempo
temos
. Precisamos calcular: (a) probabilidades de medir
em
; (b) evolução sob campo
; © probabilidades de
em tempo
; (d) valores esperados em
e
.
Passo 2
Para medir
em
, escrevemos
na base de autoestados de
, que são
Invertemos e obtemos
Logo as probabilidades de obter
ou
ao medir
são ambas
Passo 3
O Hamiltoniano na presença de
é
onde
. Assim o operador de evolução é
Aplicando em
e usando
com
, obtemos
Passo 4
Para as medidas em tempo
usamos
:
- Em
, temos
- Em
, com , achamos
- Em
, usando , obtemos
Passo 5
Os valores esperados são dados por
. Assim:
Em
tínhamos
Resposta
a) Ao medir
em
obtemos
b) Sob
, com
,
c) Em
:
-
: . -
: . -
: .
d) Valores esperados: