Um sistema de spin 12 está em um autoestado de S cdot u com autovalor +hbar2, onde u é um vetor unitário no plano X O Z e que faz um ângulo theta com o eixo O Z
a) Suponha que Sx é medida. Qual é a probabilidade de se obter +hbar2 ?
b) Calcule theta=0, pi2, pi. Verifique para os casos

Passo 1

O problema envolve um sistema de spin 1/2 preparado em um autoestado específico, e pede para calcular a probabilidade de medir um certo valor de spin em outra direção, assim como a variância dessa medida. Para isso, usaremos teoria de spin 1/2, mudança de base entre autoestados de Sz e Sx, e fórmulas de expectativa e variância.

Passo 2

O autoestado de vec Scdothat u (spin “up” na direção hat u) pode ser escrito na base de Sz como:
|+hat urang<= = cosl(theta2r),|+zrang<= + sinl(theta2r),|-zrang<=
Isso vem da rotação de um spin up em Z por ângulo theta em torno de Y.

Passo 3

O autoestado de spin “up” em X é
|+xrang<= = 1raiz2l(|+zrang<= + |-zrang<=r)
Para achar a probabilidade de medir +hbar/2 em Sx, calculamos o módulo ao quadrado da sobreposição. O coeficiente de sobreposição é
lang<= +x | +hat urang<= = 1raiz2l[cosl(tfractheta2r)+sinl(tfractheta2r)r]
Logo a probabilidade é:
Pl(Sx=+tfrachbar2r) = l|lang<= +x | +hat urang<=r|^2 = 12l[cosl(tfractheta2r)+sinl(tfractheta2r)r]^2 = 1+sintheta2

Passo 4

Para a variância usamos
lang<=(Sx-lang<= Sxrang<=)^2rang<= = lang<= Sx^2rang<= - lang<= Sxrang<=^2
Sabendo que Sx^2=hbar^2/4 e que em |+hat urang<= temos
lang<= Sxrang<= = hbar2sintheta,
segue:
lang<=(Sx-lang<= Sxrang<=)^2rang<= = hbar^24 - l(hbar2sinthetar)^2 = hbar^24cos^2theta

Passo 5

Verificação nos casos especiais:
theta=0: P=(1+0)/2=1/2, Var=hbar^2/4.
theta=pi/2: P=(1+1)/2=1, Var=0.
theta=pi: P=(1+0)/2=1/2, Var=hbar^2/4.

Resposta

A) A probabilidade de medir +hbar/2 em Sx é
Pl(Sx=+tfrachbar2r)=1+sintheta2
B) A variância de Sx no estado é
lang<=(Sx-lang<= Sxrang<=)^2rang<==hbar^24cos^2theta,
com valores especiais: theta=0 ou pi hbar^2/4 e theta=pi/2 dá 0.

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