Um sistema de spin está em um autoestado de com autovalor , onde é um vetor unitário no plano e que faz um ângulo com o eixo
a) Suponha que é medida. Qual é a probabilidade de se obter ?
b) Calcule . Verifique para os casos
Passo 1
O problema envolve um sistema de spin 1/2 preparado em um autoestado específico, e pede para calcular a probabilidade de medir um certo valor de spin em outra direção, assim como a variância dessa medida. Para isso, usaremos teoria de spin 1/2, mudança de base entre autoestados de e , e fórmulas de expectativa e variância.
Passo 2
O autoestado de (spin “up” na direção ) pode ser escrito na base de como:
Isso vem da rotação de um spin up em Z por ângulo em torno de Y.
Passo 3
O autoestado de spin “up” em X é
Para achar a probabilidade de medir em , calculamos o módulo ao quadrado da sobreposição. O coeficiente de sobreposição é
Logo a probabilidade é:
Passo 4
Para a variância usamos
lang<=(Sx-lang<= Sxrang<=)^2rang<= = lang<= Sx^2rang<= - lang<= Sxrang<=^2
Sabendo que Sx^2=hbar^2/4 e que em |+hat urang<= temos lang<= Sxrang<= = hbar2sintheta,