Considere uma peça de aço que contenha inicialmente uma concentração uniforme de carbono de 0,20 % p e que deva ser tratada a uma temperatura de 723^circ C. Se a concentração de carbono na superfície for repentinamente elevada e mantida em 1,30%p, quanto tempo será necessário para se atingir um teor de carbono de 0,40%p em uma posição localizada 0,5 mm abaixo da superfície? Suponha que a peça de aço seja semi-infinita. Dicas: a espécie em difusão é o C, o metal hospedeiro é o y-Fe.

Passo 1

Beleza, manda ver: a gente tem uma peça de aço semi-infinita, com concentração inicial de carbono C0 = 0,20%,p. A superfície, de repente, passa a ter Cs = 1,30%,p e a temperatura é 723^circ C. Queremos saber em quanto tempo, t, a x = 0,5 mm de profundidade o teor chega a C = 0,40%,p.
Conteúdo: difusão unidimensional em sólido semi-infinito com concentração de superfície constante. Vamos usar a solução com função erro (erf) da Segunda Lei de Fick e precisar de D (coeficiente de difusão) a 723^circ C.

Passo 2

Primeiro, anota os dados:
C₀ = 0,20% p  
Cₛ = 1,30% p  
C(x,t)=0,40% p  
x = 0,5 mm = 5×10⁻⁴ m  
T = 723°C  
Precisamos também de D para C em γ-Fe a 723°C, que você pega numa tabela. Vamos supor (típico)
D = 1,1times10^-11,m^2/s

Passo 3

A solução para concentração em semi-infinito com superfície fixa é:
C(x,t)-C0Cs - C0 ;=;erf!l(x2raizD,tr)
Aqui a gente define
Theta = C(x,t)-C0Cs - C0

Passo 4

Calcula Theta:
Theta = 0,40 - 0,201,30 - 0,20 = 0,201,10 approx 0,1818
Logo
erf!l(tfracx2raizD,tr) = 0,1818
Aí a gente inverte a função erro (usando tabela ou calculadora científica):
x2raizD,t = erf^-1(0,1818)approx 0,20

Passo 5

Agora isola t:
x2raizD,t = 0,20 Longrightarrow 2raizD,t = x0,20 Longrightarrow raizD,t = x0,40
D,t = l(x0,40r)^2 Longrightarrow t = x^2D,(0,40)^2
Mas como (0,40)=2times0,20, dá na prática o mesmo de
t = x^24,D,[erf^-1(0,1818)]^2
Substituindo:
t = (5times10^-4, m)^24;times1,1times10^-11,m^2/s;times(0,20)^2 approx1,4times10^5, s

Resposta

O tempo necessário é cerca de
t approx 1,4times10^5, s (aprox 39 horas)

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