Considere um pêndulo por uma barra fina e uniforme, de massa m e comprimento L, que oscila em um plano vertical com uma de suas extremidades fixadas. Note que o centro de massa da barra está localizado a uma distância de L / 2 do pivô, e o momento de inércia em relação ao pivô é dado por I= m L^{2} / 3. A barra é solta a partir do repouso, iniciando de uma posição em que o ângulo de desvio em relação à vertical é 0<\theta_{0} \ll 1. Determine o módulo da velocidade linear máxima da outra extremidade da barra.
(a) \theta_{0} \sqrt{g L}
(b) \quad \theta_{0} \sqrt{\frac{3 g L}{2}}
(c) \theta_{0} \sqrt{\frac{3 g L}{6}}
(d) \sqrt{g L}
(e) \theta_{0} \sqrt{\frac{3 g}{2 L}}

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo formado por uma barra fina e uniforme de massa m e comprimento L, presa por uma das extremidades. O momento de inércia em relação ao pivô é I = mL^2/3. A barra é solta do repouso com desvio inicial \theta_{0} (com \theta_{0}\ll1) e queremos a velocidade linear máxima da outra extremidade. Vamos usar conservação de energia rotacional (potencial gravitacional \to energia cinética de rotação) e depois relacionar \omega com v.

Passo 2

Calcular a variação de energia potencial ao descer de \theta_{0} até a vertical. O centro de massa, a uma distância L/2 do pivô, cai de altura\r
\Delta h = \frac{L}{2}\bigl(1 - \cos\theta_{0}\bigr).\r
Logo a energia potencial perdida é\r
\Delta U = mg\,\Delta h = mg\,\frac{L}{2}\bigl(1 - \cos\theta_{0}\bigr).

Passo 3

Pela conservação de energia, toda \Delta U vira energia cinética de rotação no instante de máxima velocidade:\r
mg\,\frac{L}{2}\bigl(1 - \cos\theta_{0}\bigr) = \frac{1}{2}\,I\,\omega^2 = \frac{1}{2}\,\frac{mL^2}{3}\,\omega^2 = \frac{mL^2}{6}\,\omega^2.\r
Cancelando m e rearranjando,\r
\frac{gL}{2}\bigl(1 - \cos\theta_{0}\bigr) = \frac{L^2}{6}\,\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega^2 = \frac{3g}{L}\bigl(1 - \cos\theta_{0}\bigr).

Passo 4

A velocidade linear da ponta é v = L\,\omega, logo\r
v_{\max} = L\sqrt{\frac{3g}{L}\bigl(1 - \cos\theta_{0}\bigr)} = \sqrt{3gL\bigl(1 - \cos\theta_{0}\bigr)}.\r
Para \theta_{0}\ll1, usamos 1 - \cos\theta_{0}\approx \theta_{0}^2/2, obtendo\r
v_{\max} \approx \sqrt{3gL\,\frac{\theta_{0}^2}{2}} = \theta_{0}\,\sqrt{\frac{3gL}{2}}.

Resposta

(b) \theta_{0}\sqrt{\frac{3gL}{2}}

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