Um cubo de metal com aresta de comprimento L_{0}=1 \mathrm{~m} possui distribuição de massa uniforme e de densidade \rho_{m}=1030 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. À temperatura T_{0}=300 \mathrm{~K}, o cubo não flutua na água. Qual é a temperatura T_{1} (> T_{0} ) na qual o cubo começa a flutuar na água, dado que a densidade da água é \rho_{a}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, e o coeficiente de dilatação volumétrica do metal é \beta=10^{-3} \mathrm{~K}^{-1} ? Observação: durante a dilatação térmica a midssa do cubo permanece constante.
(a) 310 K
(b) 320 K
(c) 330 K
(d) 340 K
(e) 350 K

Passo 1

O enunciado dá um cubo de metal com aresta inicial L_{0}=1\\ \mathrm{m} e densidade inicial uniforme \rho_{m0}=1030\\ \mathrm{kg/m^{3}} à temperatura T_{0}=300\\ \mathrm{K}. A água tem densidade \rho_{a}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. O cubo não flutua em T_{0}, mas ao aquecê-lo seu volume aumenta segundo o coeficiente volumétrico \beta=10^{-3}\\ \mathrm{K^{-1}}, mantendo a massa constante. Precisamos achar T_{1}>T_{0} em que passa a flutuar, ou seja, quando \rho_{m}(T_{1})=\rho_{a}.

Passo 2

Quando a temperatura sobe de T_{0} para T, o volume do cubo se expande como
V(T)=V_{0}\bigl[1+\beta\,(T-T_{0})\bigr].
Como a massa m não muda, a densidade do cubo em T é
\rho_{m}(T)=\frac{m}{V(T)}=\frac{\rho_{m0}}{1+\beta\,(T-T_{0})}.

Passo 3

A condição de flutuação é
\rho_{m}(T_{1})=\rho_{a}.
Substituindo a expressão de \rho_{m}(T_{1}) obtemos
\frac{\rho_{m0}}{1+\beta\,(T_{1}-T_{0})} \;=\; \rho_{a}.

Passo 4

Resolvendo para \Delta T=T_{1}-T_{0}:
1+\beta\,\Delta T = \frac{\rho_{m0}}{\rho_{a}}, \qquad \beta\,\Delta T = \frac{\rho_{m0}}{\rho_{a}} - 1,
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\Delta T = \frac{\rho_{m0}/\rho_{a} - 1}{\beta} = \frac{1030/1000 - 1}{10^{-3}} = \frac{1{,}03 - 1}{10^{-3}} = 30\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Como T_{1}=T_{0}+\Delta T, temos
T_{1}=300\\ \mathrm{K}+30\\ \mathrm{K}=330\\ \mathrm{K}.

Resposta

(c) 330 K

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