Considere uma pesquisa em um hospital, na qual foram realizadas 15 medições do Índice Cardíaco (em litros/min/m2), em pacientes com um problema cardíaco específico. Os resultados foram: 405, 348, 365, 291,135,260,300,155,34,294,758,472,559,143, e 172 . Determine a incerteza dessa medição, para a variável “média das n observações”, assumindo-se 90 \% de confiança.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que é pedido:
Foram feitas n=15 medições do Índice Cardíaco; os valores (em litros/min/m^2) são:405,\;348,\;365,\;291,\;135,\;260,\;300,\;155,\;34,\;294,\;758,\;472,\;559,\;143,\;172.
O que se pede: determinar a incerteza (o erro padrão da média, i.e., a margem de erro) para a variável “média das n observações”, assumindo nível de confiança de 90\%.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):
Quando queremos a incerteza da média \bar{x} com nível de confiança e a variância da população é desconhecida (caso típico), usa-se o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student.
A fórmula do intervalo de confiança para a média é\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},onde:
\bar{x} é a média amostral;
s é o desvio-padrão amostral (estimativa de \sigma);
n é o tamanho da amostra;
t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade e \alpha/2 caudal em cada lado. Para 90\% de confiança temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05.
A incerteza pedida é a metade do comprimento do intervalo, isto é a margem de erroE = t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Passo 3
Calcular a média amostral \bar{x} (passo a passo):
Primeiro a soma dos dados (faço a soma explícita):\sum_{i=1}^{15} x_i = 405+348+365+291+135+260+300+155+34+294+758+472+559+143+172 = 4691.
Portanto a média é\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{4691}{15}=312{,}733\ldotsVou manter \bar{x}=312{,}733 (em \text{L}\,\text{min}^{-1}\,\text{m}^{-2}) para os cálculos.
Passo 4
Calcular o desvio-padrão amostral s (definição e cálculo):
A definição do desvio-padrão amostral és = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.Aqui usa-se n-1 no denominador (graus de liberdade) porque estamos estimando a variância populacional a partir da média amostral.
Vou calcular os desvios e seus quadrados (cada linha: x_i, x_i-\bar{x}, (x_i-\bar{x})^2):\begin{aligned} &405,\quad 405-312{,}733=92{,}267,\quad (92{,}267)^2\approx 8513{,}138,\\\ &348,\quad 35{,}267,\quad (35{,}267)^2\approx 1243{,}738,\\\ &365,\quad 52{,}267,\quad (52{,}267)^2\approx 2731{,}804,\\\ &291,\quad -21{,}733,\quad (-21{,}733)^2\approx 472{,}338,\\\ &135,\quad -177{,}733,\quad (-177{,}733)^2\approx 31589{,}138,\\\ &260,\quad -52{,}733,\quad (-52{,}733)^2\approx 2780{,}671,\\\ &300,\quad -12{,}733,\quad (-12{,}733)^2\approx 162{,}138,\\\ &155,\quad -157{,}733,\quad (-157{,}733)^2\approx 24879{,}671,\\\ &34,\quad -278{,}733,\quad (-278{,}733)^2\approx 77692{,}271,\\\ &294,\quad -18{,}733,\quad (-18{,}733)^2\approx 350{,}938,\\\ &758,\quad 445{,}267,\quad (445{,}267)^2\approx198262{,}404,\\\ &472,\quad 159{,}267,\quad (159{,}267)^2\approx25365{,}871,\\\ &559,\quad 246{,}267,\quad (246{,}267)^2\approx60647{,}271,\\\ &143,\quad -169{,}733,\quad (-169{,}733)^2\approx28809{,}404,\\\ &172,\quad -140{,}733,\quad (-140{,}733)^2\approx19805{,}871. \end{aligned}(os valores numéricos dos quadrados foram obtidos a partir dos próprios dados e da média calculada)
Somando todos esses quadrados:\sum_{i=1}^{15}(x_i-\bar{x})^2 \approx 483306{,}666.
Assim a variância amostral e o desvio-padrão amostral sãos^2=\frac{483306{,}666}{n-1}=\frac{483306{,}666}{14}\approx34521{,}905,
s=\sqrt{34521{,}905}\approx185{,}800.
Passo 5
Calcular o erro-padrão da média (standard error):
O erro padrão da média é\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Achar o valor crítico t_{\alpha/2,\;n-1} para 90\% de confiança:
Temos n-1=14 graus de liberdade e \alpha/2=0{,}05.
Olhando numa tabela t (ou tabela de quantis) obtemost_{0{,}05,\;14}\approx 1{,}761.(explicação rápida: esse valor é o quantil tal que a área à direita é 0{,}05; para 90\% de confiança usamos esse t.)
Passo 7
Calcular a margem de erro (a incerteza pedida):
A margem de erro éE = t_{0{,}05,\;14}\,\text{SE}\approx 1{,}761\times 47{,}974 \approx 84{,}52.
Interpretação: com 90\% de confiança, a média amostral \bar{x} tem incerteza (margem de erro) aproximadamente 84{,}52\\ \text{L}\,\text{min}^{-1}\,\text{m}^{-2}.