Considere a necessidade de se mensurar a massa linear de um fio, dada por:
, sendo
(massa volúmica do aço);
raio do fio de aço.
Realizou-se 10 medições do diâmetro do fio, utilizando-se um instrumento com resolução de
, e distribuição uniforme. Tais medições são mostradas na tabela a seguir:
Leitura
Diâmetro
1
0,81
2
0,81
3
0,80
4
0,80
5
0,81
6
0,80
7
0,80
8
0,81
9
0,81
10
0,80
a) Determine a média e a variância do diâmetro e do raio;
b) Determine a incerteza da variável “média das n medições” também para o diâmetro e para o raio;
c) Determine a incerteza com base apenas no instrumento (incerteza do Tipo B);
d) Determina a incerteza com base na variável “média das n medições” (incerteza do Tipo A);
Realizou-se 10 medições do diâmetro do fio, utilizando-se um instrumento com resolução de
| Leitura | Diâmetro
|
| 1 | 0,81 |
| 2 | 0,81 |
| 3 | 0,80 |
| 4 | 0,80 |
| 5 | 0,81 |
| 6 | 0,80 |
| 7 | 0,80 |
| 8 | 0,81 |
| 9 | 0,81 |
| 10 | 0,80 |
b) Determine a incerteza da variável “média das n medições” também para o diâmetro e para o raio;
c) Determine a incerteza com base apenas no instrumento (incerteza do Tipo B);
d) Determina a incerteza com base na variável “média das n medições” (incerteza do Tipo A);
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado (lista clara, sem resolver ainda):
- Foram feitas
medições do diâmetro do fio com um instrumento cuja resolução é e assume-se distribuição uniforme da incerteza do instrumento. - As leituras do diâmetro (em
) são:
- O enunciado pede:
(a) determinar a média e a variância do diâmetro e do raio;
(b) determinar a incerteza da variável “média dasmedições” (para o diâmetro e para o raio);
(c) determinar a incerteza baseada apenas no instrumento (incerteza do Tipo B);
(d) determinar a incerteza baseada na variável “média dasmedições” (incerteza do Tipo A).
Observações úteis para a resolução (apenas fórmulas que vamos usar depois):
- Média aritmética:
. - Variância amostral (não viesada):
. - Para um fator constante
: . - Incerteza tipo A da média (erro padrão):
. - Incerteza tipo B para distribuição uniforme no intervalo
:
Passo 2
Calcular a média do diâmetro e do raio (passo a passo).
- Primeiro a média do diâmetro. Somando as leituras: há cinco valores
e cinco valores , logo
- A média do diâmetro é
- O raio de cada medida é
. A média do raio é simplesmente metade da média do diâmetro:
(Comentário rápido e encorajador: ótimo — já temos as médias. Agora vamos à variância com calma.)
Passo 3
Definir e explicar a variância amostral que vamos calcular (por quê usar
).
- A variância que usamos em medições para estimar a dispersão verdadeira a partir de amostras é a variância amostral não viesada:
- Explicação curta e intuitiva: dividir por
corrige o viés porque já usamos a média amostral (uma estimativa) ao invés da média verdadeira; isso é o procedimento padrão para estimar a variância do processo de medição.
Passo 4
Calcular a variância do diâmetro (passos numéricos explícitos).
- Cada leitura difere da média
por : - Para
: . - Para
: .
- Para
- O quadrado dessa diferença é
para cada leitura. - Soma dos quadrados das diferenças:
- Variância amostral do diâmetro:
- Em notação científica (mais limpa):
- O desvio padrão amostral é
Passo 5
Calcular a variância do raio (usando propriedade de escala).
- Como
, vale . - Logo
- O desvio padrão do raio:
Passo 6
Determinar a incerteza da variável “média das
medições” — incerteza tipo A (erro padrão da média).
- Fórmula (já mencionada):
. - Para o diâmetro:
- Para o raio (ou usar a relação direta
):
(Interpretação curta: isso é o erro típico que a média amostral tem por causa da dispersão das medidas.)
Passo 7
Determinar a incerteza com base apenas no instrumento — incerteza tipo B (distribuição uniforme).
- Explicação e fórmula: se a resolução do instrumento é
, assumimos que o erro de leitura está uniformemente distribuído no intervalo . A desviopadrão dessa distribuição é . - Aqui
, então metade do passo é . - Incerteza tipo B para o diâmetro:
- Para o raio (divide por 2):
Passo 8
Comparação rápida (para intuição) e conclusão didática sobre quais incertezas são maiores.
- Para o diâmetro:
e . O componente do instrumento (Tipo B) é maior aqui — ou seja, a resolução do aparelho limita mais a confiança do que a dispersão observada entre leituras. - Para o raio a mesma relação se mantém:
domina sobre . - Em medições práticas costuma-se combinar as incertezas (combinada quadrática) para obter a incerteza padrão combinada final, mas o enunciado pediu explicitamente as incertezas separadas Tipo A e Tipo B, então apresentamos ambas.
Resposta
(a) Média e variância:
(b) Incerteza da média (Tipo A — erro padrão da média):
(c) Incerteza com base apenas no instrumento (Tipo B):
(d) Incerteza baseada na variável “média das
medições” (Tipo A):