Considere a necessidade de se mensurar a massa linear de um fio, dada por:
m_{l}=(\rho)(\pi)(r)^{2}, sendo
\rho=7,7 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} (massa volúmica do aço);
r= raio do fio de aço.
Realizou-se 10 medições do diâmetro do fio, utilizando-se um instrumento com resolução de 0,01 \mathrm{~mm}, e distribuição uniforme. Tais medições são mostradas na tabela a seguir:
Leitura Diâmetro (\mathrm{mm})
1 0,81
2 0,81
3 0,80
4 0,80
5 0,81
6 0,80
7 0,80
8 0,81
9 0,81
10 0,80
a) Determine a média e a variância do diâmetro e do raio;
b) Determine a incerteza da variável “média das n medições” também para o diâmetro e para o raio;
c) Determine a incerteza com base apenas no instrumento (incerteza do Tipo B);
d) Determina a incerteza com base na variável “média das n medições” (incerteza do Tipo A);

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (lista clara, sem resolver ainda):
  • Foram feitas n=10 medições do diâmetro do fio com um instrumento cuja resolução é \Delta=0,01\\ \mathrm{mm} e assume-se distribuição uniforme da incerteza do instrumento.
  • As leituras do diâmetro (em \mathrm{mm}) são:
    \;0,81,\\\ 0,81,\\\ 0,80,\\\ 0,80,\\\ 0,81,\\\ 0,80,\\\ 0,80,\\\ 0,81,\\\ 0,81,\\\ 0,80.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a média e a variância do diâmetro e do raio;
    (b) determinar a incerteza da variável “média das n medições” (para o diâmetro e para o raio);
    (c) determinar a incerteza baseada apenas no instrumento (incerteza do Tipo B);
    (d) determinar a incerteza baseada na variável “média das n medições” (incerteza do Tipo A).
Observações úteis para a resolução (apenas fórmulas que vamos usar depois):
  • Média aritmética: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
  • Variância amostral (não viesada): \displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
  • Para um fator constante c: \mathrm{Var}(cX)=c^2\mathrm{Var}(X).
  • Incerteza tipo A da média (erro padrão): \displaystyle u_A(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}.
  • Incerteza tipo B para distribuição uniforme no intervalo [-\tfrac{\Delta}{2},+\tfrac{\Delta}{2}]: \displaystyle u_B=\frac{\Delta/2}{\sqrt{3}}.

Passo 2

Calcular a média do diâmetro e do raio (passo a passo).
  • Primeiro a média do diâmetro. Somando as leituras: há cinco valores 0,81 e cinco valores 0,80, logo
\sum_{i=1}^{10} d_i = 5\cdot 0,81 + 5\cdot 0,80 = 4,05 + 4,00 = 8,05\\ \mathrm{mm}.
  • A média do diâmetro é
\bar{d}=\frac{1}{10}\cdot 8,05 = 0,805\\ \mathrm{mm}.
  • O raio de cada medida é r_i=d_i/2. A média do raio é simplesmente metade da média do diâmetro:
\bar{r}=\frac{\bar{d}}{2}=\frac{0,805}{2}=0,4025\\ \mathrm{mm}.
(Comentário rápido e encorajador: ótimo — já temos as médias. Agora vamos à variância com calma.)

Passo 3

Definir e explicar a variância amostral que vamos calcular (por quê usar n-1).
  • A variância que usamos em medições para estimar a dispersão verdadeira a partir de amostras é a variância amostral não viesada:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
  • Explicação curta e intuitiva: dividir por n-1 corrige o viés porque já usamos a média amostral \bar{x} (uma estimativa) ao invés da média verdadeira; isso é o procedimento padrão para estimar a variância do processo de medição.

Passo 4

Calcular a variância do diâmetro (passos numéricos explícitos).
  • Cada leitura difere da média \bar{d}=0,805\\ \mathrm{mm} por \pm 0,005\\ \mathrm{mm}:
    • Para d_i=0,81: d_i-\bar{d}=+0,005\\ \mathrm{mm}.
    • Para d_i=0,80: d_i-\bar{d}=-0,005\\ \mathrm{mm}.
  • O quadrado dessa diferença é (0,005)^2=0,000025\\ \mathrm{mm}^2 para cada leitura.
  • Soma dos quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(d_i-\bar{d})^2 = 10\cdot 0,000025 = 0,00025\\ \mathrm{mm}^2.
  • Variância amostral do diâmetro:
s_d^2=\frac{0,00025}{n-1}=\frac{0,00025}{9}=0,000027777\ldots\\ \mathrm{mm}^2.
  • Em notação científica (mais limpa):
s_d^2 \approx 2,7778\times 10^{-5}\\ \mathrm{mm}^2.
  • O desvio padrão amostral é
s_d=\sqrt{s_d^2}\approx \sqrt{2,7778\times10^{-5}} \approx 0,00528\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Calcular a variância do raio (usando propriedade de escala).
  • Como r=d/2, vale \mathrm{Var}(r)=\mathrm{Var}(d/2)=(1/2)^2\mathrm{Var}(d)=\tfrac{1}{4}s_d^2.
  • Logo
s_r^2=\frac{s_d^2}{4} \approx \frac{2,7778\times10^{-5}}{4}=6,9444\times10^{-6}\\ \mathrm{mm}^2.
  • O desvio padrão do raio:
s_r=\sqrt{s_r^2}\approx 0,00264\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Determinar a incerteza da variável “média das n medições” — incerteza tipo A (erro padrão da média).
  • Fórmula (já mencionada): \displaystyle u_A(\bar{x})=\frac{s}{\sqrt{n}}.
  • Para o diâmetro:
u_A(\bar{d})=\frac{s_d}{\sqrt{10}} \approx \frac{0,00528}{\sqrt{10}} \approx \frac{0,00528}{3,1623}\approx 0,001667\\ \mathrm{mm}.
  • Para o raio (ou usar a relação direta u_A(\bar{r})=u_A(\bar{d})/2):
u_A(\bar{r})=\frac{u_A(\bar{d})}{2}\approx 0,000833\\ \mathrm{mm}.
(Interpretação curta: isso é o erro típico que a média amostral tem por causa da dispersão das medidas.)

Passo 7

Determinar a incerteza com base apenas no instrumento — incerteza tipo B (distribuição uniforme).
  • Explicação e fórmula: se a resolução do instrumento é \Delta, assumimos que o erro de leitura está uniformemente distribuído no intervalo [-\tfrac{\Delta}{2},+\tfrac{\Delta}{2}]. A desviopadrão dessa distribuição é \tfrac{\Delta/2}{\sqrt{3}}.
  • Aqui \Delta=0,01\\ \mathrm{mm}, então metade do passo é a=\tfrac{\Delta}{2}=0,005\\ \mathrm{mm}.
  • Incerteza tipo B para o diâmetro:
u_B(d)=\frac{0,005}{\sqrt{3}}\approx 0,002887\\ \mathrm{mm}.
  • Para o raio (divide por 2):
u_B(r)=\frac{u_B(d)}{2}\approx 0,001443\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Comparação rápida (para intuição) e conclusão didática sobre quais incertezas são maiores.
  • Para o diâmetro: u_B(d)\approx 0,002887\\ \mathrm{mm} e u_A(\bar{d})\approx 0,001667\\ \mathrm{mm}. O componente do instrumento (Tipo B) é maior aqui — ou seja, a resolução do aparelho limita mais a confiança do que a dispersão observada entre leituras.
  • Para o raio a mesma relação se mantém: u_B(r) domina sobre u_A(\bar{r}).
  • Em medições práticas costuma-se combinar as incertezas (combinada quadrática) para obter a incerteza padrão combinada final, mas o enunciado pediu explicitamente as incertezas separadas Tipo A e Tipo B, então apresentamos ambas.

Resposta

(a) Média e variância:
\bar{d}=0,805\\ \mathrm{mm}
s_d^2 \approx 2,7778\times10^{-5}\\ \mathrm{mm}^2
\bar{r}=0,4025\\ \mathrm{mm}
s_r^2 \approx 6,9444\times10^{-6}\\ \mathrm{mm}^2
(b) Incerteza da média (Tipo A — erro padrão da média):
u_A(\bar{d})\approx 0,001667\\ \mathrm{mm}
u_A(\bar{r})\approx 0,000833\\ \mathrm{mm}
(c) Incerteza com base apenas no instrumento (Tipo B):
u_B(d)\approx 0,002887\\ \mathrm{mm}
u_B(r)\approx 0,001443\\ \mathrm{mm}
(d) Incerteza baseada na variável “média das n medições” (Tipo A):
u_A(\bar{d})\approx 0,001667\\ \mathrm{mm}
u_A(\bar{r})\approx 0,000833\\ \mathrm{mm}

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