Considere um pilar que descarrega uma carga de 200 kN em uma sapata. O terreno possui um solo argiloso com Nspt = 18. Dimensione a geometria da base de uma sapata quadrada e de uma sapata retangular de lado igual a 70 cm para esse pilar. Considere um fator de segurança F.S = 1,5.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte e pede que calculemos as dimensões da sapata:
  • Carga aplicada no pilar: P = 200\\ \text{kN}.
  • Solo: argiloso com N_{SPT} = 18.
  • Fator de segurança: \text{F.S.} = 1{,}5.
  • Pedidos:
    • dimensionar a sapata quadrada (ou seja, encontrar o lado B da sapata quadrada);
    • dimensionar a sapata retangular com um dos lados já fixo em B = 0{,}70\\ \text{m} (ou seja, encontrar o outro lado L).
Informações relevantes que temos de usar (fornecidas pelo enunciado): P, N_{SPT}, \text{F.S.} e a condição de solo argiloso. Nada mais foi dado (por exemplo profundidade da sapata, nível d’água, peso específico do solo), então faremos hipóteses usuais e conservadoras e explicaremos isso na resolução.

Passo 2

Breve explicação da estratégia de dimensionamento (conhecimento que será usado, sem cálculos ainda).
  • Ideia prática: a sapata deve distribuir a carga do pilar em uma pressão no solo que seja menor ou igual à capacidade admissível do solo.
  • Definições:
    • \,q_{ult}\, = pressão última de ruptura do solo sob a sapata (capacidade última).
    • \,q_{adm}\, = pressão admissível (ou capacidadede de carga admissível) que será usada no projeto; relaciona-se com \,q_{ult}\, por q_{adm}=\frac{q_{ult}}{\text{F.S.}}.
    • Área mínima necessária da sapata: A_{\min}=\frac{P}{q_{adm}}.
    • Para sapata quadrada de lado B: A=B^{2}.
    • Para sapata retangular com um lado conhecido B e outro L: A=B\cdot L.
  • Como o solo é argiloso, uma forma prática e clássica é estimar a resistência ao cisalhamento não drenada c_u a partir do N_{SPT} por uma correlação empírica, e então usar a fórmula da capacidade de carga para solo coesivo (estado não drenado, \varphi=0), que simplifica para q_{ult}=c_u\cdot N_c,onde N_c é o fator de capacidade de carga adimensional para \varphi=0. Usaremos N_c=5{,}14 (valor clássico para \varphi=0 em projetos rasos).
  • Observação sobre hipóteses e conservadorismo: existem várias correlações empíricas c_u(N_{SPT}); vou escolher uma correlação conservadora e também não aplicar fatores de forma que aumentariam q_{ult} (shape factors), para que o resultado fique razoavelmente seguro sem dados extras.

Passo 3

Escolha e justificativa da correlação N_{SPT}\to c_u.
  • Em argilas, correlações empíricas ligam N_{SPT} a c_u. Os coeficientes variam bastante com tipo de argila, história deposicional, etc. Para um projeto conservador e prático em provas, uma correlação comumente empregada (e relativamente conservadora para argilas de resistência moderada) é: c_u \approx 2{,}5\cdot N_{SPT}\quad\text{(em kPa, com \(N_{SPT}\) adimensional).}
  • Usarei essa correlação explicitando que é empírica e conservadora. Como N_{SPT}=18, teremos: c_u = 2{,}5\cdot 18.

Passo 4

Calcular c_u a partir de N_{SPT}.
  • Substituindo: c_u = 2{,}5\cdot 18 = 45\\ \text{kPa}.
  • Interpretação: c_u=45\\ \text{kPa} é a resistência ao cisalhamento não drenada estimada pelo SPT (valor empírico usado aqui).

Passo 5

Calcular a pressão última q_{ult} para solo coesivo ( \varphi=0).
  • Fórmula utilizada: q_{ult}=c_u\cdot N_c,com N_c=5{,}14 (valor clássico para \varphi=0).
  • Substituindo: q_{ult} = 45\\ \text{kPa}\cdot 5{,}14 = 231{,}3\\ \text{kPa}.
  • Observação: aqui estamos tomando uma fórmula simples e não aplicando fatores de forma positivos (shape factors) nem contribuição de sobrecarga q=\gamma D; isso torna o valor conservador caso a sapata fique em superfície rasa. Se houvesse mais informações (profundidade, \gamma, forma), poder-se-ia ajustar.

Passo 6

Calcular a pressão admissível q_{adm} usando o fator de segurança.
  • Fórmula: q_{adm}=\frac{q_{ult}}{\text{F.S.}}.
  • Substituindo: q_{adm}=\frac{231{,}3}{1{,}5}=154{,}2\\ \text{kPa}.
  • Interpretação: com o fator de segurança pedido, o solo pode suportar, admissivelmente, 154{,}2\\ \text{kN/m}^2 (lembre que 1\\ \text{kPa}=1\\ \text{kN/m}^2).

Passo 7

Calcular a área mínima necessária A_{\min}.
  • Fórmula: A_{\min}=\frac{P}{q_{adm}}.
  • Substituindo P=200\\ \text{kN} e q_{adm}=154{,}2\\ \text{kN/m}^2: A_{\min}=\frac{200}{154{,}2}=1{,}297\\ \text{m}^2\quad(\text{aprox.})
  • Interpretação: a sapata precisa ter pelo menos cerca de 1{,}297\\ \text{m}^2 de área para que a pressão atuante no solo fique dentro do admissível.

Passo 8

Dimensionamento da sapata quadrada.
  • Para sapata quadrada de lado B: B=\sqrt{A_{\min}}=\sqrt{1{,}297}=1{,}139\\ \text{m}\approx 1{,}14\\ \text{m}.
  • Portanto, escolhemos B\approx 1{,}14\\ \text{m} (arredondando para duas casas decimais). Em projeto prático pode-se adotar B=1{,}15\\ \text{m} ou B=1{,}20\\ \text{m} por facilidade de execução, ficando ainda conservador.

Passo 9

Dimensionamento da sapata retangular com um lado B=0{,}70\\ \text{m}.
  • Para retângulo com B=0{,}70\\ \text{m} e área A_{\min}, o outro lado L é: L=\frac{A_{\min}}{B}=\frac{1{,}297}{0{,}70}=1{,}853\\ \text{m}\approx 1{,}85\\ \text{m}.
  • Em prática, arredonda-se para L=1{,}85\\ \text{m} ou L=1{,}90\\ \text{m} para segurança e facilidade de execução.

Passo 10

Resumo das hipóteses e sugestões práticas / notas finais (muito importantes para prova e obra)
  • Hipóteses feitas:
    • Usei correlação empírica conservadora c_u=2{,}5\cdot N_{SPT}. Essa escolha influencia fortemente o resultado; outras correlações dariam valores diferentes.
    • Usei N_c=5{,}14 e não apliquei fatores de forma positivos nem contribuição de sobrecarga (hipótese de sapata muito rasa), o que é conservador.
    • Não considerei efeito do lençol freático nem empolamento nem separação de tensões por profundidade.
  • Se em obra houver informações adicionais (por exemplo: profundidade da sapata, peso específico do solo \gamma, presença de camada resistente em profundidade, nivel freático), deve-se recalcular e possivelmente reduzir as dimensões ou considerar sapata armada e outros detalhes.
  • Recomenda-se, para execução, arredondar as dimensões para valores práticos (por exemplo: sapata quadrada com lado 1{,}15\\ \text{m} ou 1{,}20\\ \text{m}; sapata retangular 0{,}70\times 1{,}90\\ \text{m}) e sempre confirmar com ensaios locais mais específicos se possível.

Resposta

Sapata quadrada: B \approx 1{,}14\\ \text{m}.
Sapata retangular com um lado 0{,}70\\ \text{m}: L \approx 1{,}85\\ \text{m}.

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