Utilize esse resultado para reescrever as funções racionais seguintes como polinômios mais frações racionais próprias.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a função racional
na forma “polinômio + fração racional própria”. Informações relevantes que temos:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Grau do numerador:
. - Grau do denominador:
.
Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a fração é imprópria e devemos fazer divisão de polinômios para separar a parte polinomial e obter uma fração com numerador de grau menor que.
Passo 2
Relembrando a ideia (passo-a-passo didático): para dividir polinômios usamos o algoritmo da divisão.
- Passo básico do algoritmo: dividir o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador para obter o primeiro termo do quociente.
- Multiplicar o denominador por esse termo do quociente e subtrair do numerador; o resultado é o novo resto.
- Repetir até que o grau do resto seja menor que o grau do denominador.
O quociente obtido é o polinômio que queremos, e o resto sobre o denominador é a fração própria.
Passo 3
Aplicando o algoritmo: dividir o termo líder do numerador pelo termo líder do denominador.
O termo líder do numerador é e do denominador é
. Então
O termo líder do numerador é
Multiplica-se o denominador por
:
Subtraindo isso do numerador (escrevendo o numerador com todos os graus presentes para facilitar):
Esse é o novo resto após o primeiro passo.
Passo 4
Continuamos a divisão: dividir o termo líder do resto
pelo termo líder do denominador
:
Multiplica-se o denominador por
:
Subtrai-se do resto anterior:
Agora o resto é
, cujo grau é
, menor que o grau do denominador (
). Portanto paramos aqui.
Passo 5
Escrevendo a decomposição final: o quociente obtido é
e o resto é
. Logo
Para ficar mais limpo, pode-se tirar o sinal do numerador:
Passo 6
Verificação rápida (opcional mas útil na prova): multiplicando ambos os lados por
deve voltar ao numerador original,
o que confirma que a divisão foi feita corretamente.