Utilize esse resultado para reescrever as funções racionais seguintes como polinômios mais frações racionais próprias.
\frac{f}{g}=\frac{x^{4}+x^{3}-2 x^{2}+4}{x^{3}+3}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a função racional
\frac{f}{g}=\frac{x^{4}+x^{3}-2x^{2}+4}{x^{3}+3}
na forma “polinômio + fração racional própria”. Informações relevantes que temos:
  • Numerador: x^{4}+x^{3}-2x^{2}+4.
  • Denominador: x^{3}+3.
  • Grau do numerador: 4.
  • Grau do denominador: 3.
    Como o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador, a fração é imprópria e devemos fazer divisão de polinômios para separar a parte polinomial e obter uma fração com numerador de grau menor que 3.

Passo 2

Relembrando a ideia (passo-a-passo didático): para dividir polinômios usamos o algoritmo da divisão.
  • Passo básico do algoritmo: dividir o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador para obter o primeiro termo do quociente.
  • Multiplicar o denominador por esse termo do quociente e subtrair do numerador; o resultado é o novo resto.
  • Repetir até que o grau do resto seja menor que o grau do denominador.
    O quociente obtido é o polinômio que queremos, e o resto sobre o denominador é a fração própria.

Passo 3

Aplicando o algoritmo: dividir o termo líder do numerador pelo termo líder do denominador.
O termo líder do numerador é x^{4} e do denominador é x^{3}. Então
\frac{x^{4}}{x^{3}}=x.
Multiplica-se o denominador por x:
x\cdot\left(x^{3}+3\right)=x^{4}+3x.
Subtraindo isso do numerador (escrevendo o numerador com todos os graus presentes para facilitar):
\bigl(x^{4}+x^{3}-2x^{2}+0x+4\bigr)-\bigl(x^{4}+3x\bigr) = x^{3}-2x^{2}-3x+4.
Esse é o novo resto após o primeiro passo.

Passo 4

Continuamos a divisão: dividir o termo líder do resto x^{3} pelo termo líder do denominador x^{3}:
\frac{x^{3}}{x^{3}}=1.
Multiplica-se o denominador por 1:
1\cdot\left(x^{3}+3\right)=x^{3}+3.
Subtrai-se do resto anterior:
\bigl(x^{3}-2x^{2}-3x+4\bigr)-\bigl(x^{3}+3\bigr) = -2x^{2}-3x+1.
Agora o resto é -2x^{2}-3x+1, cujo grau é 2, menor que o grau do denominador ( 3). Portanto paramos aqui.

Passo 5

Escrevendo a decomposição final: o quociente obtido é x+1 e o resto é -2x^{2}-3x+1. Logo
\frac{x^{4}+x^{3}-2x^{2}+4}{x^{3}+3}=x+1+\frac{-2x^{2}-3x+1}{x^{3}+3}.
Para ficar mais limpo, pode-se tirar o sinal do numerador:
\frac{x^{4}+x^{3}-2x^{2}+4}{x^{3}+3}=x+1-\frac{2x^{2}+3x-1}{x^{3}+3}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional mas útil na prova): multiplicando ambos os lados por x^{3}+3 deve voltar ao numerador original,
(x+1)(x^{3}+3)+\bigl(-2x^{2}-3x+1\bigr)=x^{4}+x^{3}-2x^{2}+4,
o que confirma que a divisão foi feita corretamente.

Resposta

x+1-\frac{2x^{2}+3x-1}{x^{3}+3}

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