1. Considere a pilha (298 K):
\mathrm{Zn}_{(\mathrm{s})}\left|\mathrm{Zn}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})} \| \mathrm{Cu}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})}\right| \mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}
com soluções separadas, cada uma 100,0 \mathrm{~mL}. Trabalhe apenas com concentrações (atividades ideais).
Dados-padrão:
\mathrm{E}^{\circ}\left(\mathrm{Cu}^{2+} / \mathrm{Cu}\right)=+0,340 \mathrm{~V} ; \mathrm{E}^{\circ}\left(\mathrm{Zn}^{2+} / \mathrm{Zn}\right)=-0,763 \mathrm{~V} ; \mathrm{E}^{\circ} pilha =1,103 \mathrm{~V}.
Constantes: \mathrm{F}=96485 \mathrm{C} \mathrm{mol}^{-1} ; \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}.
Condições iniciais:
\left[\mathrm{Zn}^{2+}\right]_{0}=0,0500 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ;\left[\mathrm{Cu}^{2+}\right]_{0}=0,0200 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}.
a) Calcule o potencial inicial E da pilha usando a equação de Nernst (298 K).
b) Mantendo a meia-célula de zinco inalterada, adiciona-se 100,0 \mathrm{~mL} de água destilada ao compartimento do cobre (diluição). Recalcule E.
c) A partir das condições iniciais (sem diluição), um gerador força \mathrm{I}=0,200 A por \mathrm{t}=5,00 \mathrm{~min}. Despreze sobrepotenciais. Encontre as novas concentrações, o novo E e a massa de Zn dissolvida.

Passo 1

O enunciado descreve uma pilha com eletrodos separados e me pede três coisas:
  1. (a) Calcular o potencial inicial E da pilha, usando a equação de Nernst, nas condições iniciais indicadas.
  2. (b) Após diluir a meia-célula do cobre adicionando 100{,}0\\ \mathrm{mL} de água ao compartimento do cobre, recalcular E.
  3. (c) A partir das condições iniciais (sem diluição), um gerador força uma corrente I=0{,}200\\ \mathrm{A} por t=5{,}00\\ \mathrm{min}. Desprezar sobrepotenciais. Encontrar as novas concentrações de \mathrm{Zn}^{2+} e \mathrm{Cu}^{2+}, o novo E e a massa de \mathrm{Zn} dissolvida.
Informações e dados relevantes (do enunciado):
\text{Pilha: }\mathrm{Zn}_{(\mathrm{s})}\left|\mathrm{Zn}^{2+}_{(\mathrm{aq})}\right\|\mathrm{Cu}^{2+}_{(\mathrm{aq})}\left|\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}\right.
\mathrm{E}^{\circ}(\mathrm{Cu}^{2+}/\mathrm{Cu})=+0{,}340\\ \mathrm{V},\quad \mathrm{E}^{\circ}(\mathrm{Zn}^{2+}/\mathrm{Zn})=-0{,}763\\ \mathrm{V}
\mathrm{E}^{\circ}_{\text{pilha}}=1{,}103\\ \mathrm{V}
\mathrm{F}=96485\\ \mathrm{C\\ mol^{-1}},\quad \mathrm{R}=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},\quad T=298\\ \mathrm{K}
Condições iniciais das concentrações (cada solução em 100{,}0\\ \mathrm{mL}):
\left[\mathrm{Zn}^{2+}\right]_0=0{,}0500\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}},\quad \left[\mathrm{Cu}^{2+}\right]_0=0{,}0200\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
O que será usado na resolução (sem resolver aqui): equação de Nernst, definição do quociente de reação Q para a reação global, e, na parte (c), a relação carga-corrente- \mathrm{mol} de elétrons (Lei de Faraday) e estequiometria da reação redox para relacionar elétrons consumidos/fornecidos com mols de \mathrm{Zn} dissolvido e \mathrm{Cu}^{2+} consumido.

Passo 2

Entendendo a reação global e o quociente de reação Q.
A meia-reação de oxidação no anodo (zinco) é
\mathrm{Zn}_{(\mathrm{s})}\to \mathrm{Zn}^{2+}_{(\mathrm{aq})}+2\mathrm{e}^-
A meia-reação de redução no cátodo (cobre) é
\mathrm{Cu}^{2+}_{(\mathrm{aq})}+2\mathrm{e}^-\to \mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}
A reação global (somando as duas) é
\mathrm{Zn}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{Cu}^{2+}_{(\mathrm{aq})}\to \mathrm{Zn}^{2+}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{Cu}_{(\mathrm{s})}
Para esta reação o número de elétrons transferidos é n=2 (cada átomo de Zn perde 2 elétrons).
O quociente de reação Q (usando atividades ideais = concentrações) para a reação global é
Q=\frac{[\mathrm{Zn}^{2+}]}{[\mathrm{Cu}^{2+}]}
Explicação curta: produtos no numerador e reagentes no denominador; \mathrm{Cu} e \mathrm{Zn} sólidos não aparecem em Q.

Passo 3

Apresentando a equação de Nernst e explicando cada termo.
A equação de Nernst em temperatura T para a pilha é
E = E^\circ - \frac{RT}{nF}\ln Q
onde
  • E é o potencial da pilha nas condições dadas;
  • E^\circ é o potencial padrão da pilha ( 1{,}103\\ \mathrm{V} dado);
  • R é a constante dos gases ( 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • T é a temperatura em kelvin ( 298\\ \mathrm{K});
  • n é o número de elétrons transferidos na reação global ( n=2);
  • F é a constante de Faraday ( 96485\\ \mathrm{C\,mol^{-1}});
  • Q é o quociente de reação (definido no passo anterior).
Observação didática: \dfrac{RT}{nF} tem unidades de volts, porque R T tem unidades de J/mol e F de C/mol, sendo 1\\ \mathrm{J/C}=1\\ \mathrm{V}. Em condições usuais (298 K) vale aproximadamente \dfrac{RT}{F}\approx 0{,}025693\\ \mathrm{V}; dividindo por n=2 dá cerca de 0{,}012846\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Resolvendo (a) — potencial inicial E com as concentrações iniciais.
Calcule primeiro Q com os valores dados:
Q=\frac{[\mathrm{Zn}^{2+}]_0}{[\mathrm{Cu}^{2+}]_0}=\frac{0{,}0500}{0{,}0200}=2{,}50
Calcule o fator \dfrac{RT}{nF} em T=298\\ \mathrm{K}:
\frac{RT}{nF}=\frac{8{,}314\cdot 298}{2\cdot 96485}=0{,}0128465\\ \mathrm{V}\quad(\text{aprox.})
Agora aplicar Nernst:
E=1{,}103-\left(0{,}0128465\right)\ln(2{,}50)
Calcule \ln(2{,}50)=0{,}916291\ldots então
E=1{,}103-0{,}0128465\times 0{,}916291=1{,}103-0{,}011776\approx 1{,}09122\\ \mathrm{V}.
Interpretação: o potencial é ligeiramente menor que E^\circ porque há mais \mathrm{Zn}^{2+} (produto) que \mathrm{Cu}^{2+} (reagente), ou seja Q>1 desloca o potencial para baixo.

Passo 5

Resolvendo (b) — efeito da diluição do compartimento do cobre.
Ao adicionar 100{,}0\\ \mathrm{mL} de água ao compartimento do cobre, o volume de lá passa de 100{,}0\\ \mathrm{mL} para 200{,}0\\ \mathrm{mL}. Como a quantidade de soluto não muda, a concentração do cátion cobre cai pela metade:
[\mathrm{Cu}^{2+}]_{\text{novo}}=\frac{0{,}0200\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}\times 100{,}0\\ \mathrm{mL}}{200{,}0\\ \mathrm{mL}}=0{,}0100\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
A meia-célula de zinco foi mantida inalterada, então
[\mathrm{Zn}^{2+}]=0{,}0500\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
Calcule Q após diluição:
Q=\frac{0{,}0500}{0{,}0100}=5{,}00
Usando o mesmo \dfrac{RT}{nF}=0{,}0128465\\ \mathrm{V},
E=1{,}103-0{,}0128465\ln(5{,}00)
\ln(5{,}00)=1{,}609438\ldots, então
E=1{,}103-0{,}0128465\times 1{,}609438=1{,}103-0{,}020684\approx 1{,}08232\\ \mathrm{V}.
Interpretação: a diluição do \mathrm{Cu}^{2+} diminuiu a concentração do reagente, aumentando Q e assim reduzindo o potencial da pilha em relação ao caso inicial.

Passo 6

Preparação para (c) — entender o que acontece quando uma corrente é forçada.
Quando uma corrente elétrica flui através da pilha, há passagem de carga que causa transformação química conforme a estequiometria das meias-reações. A quantidade total de carga elétrica transferida no tempo t é
q=I\cdot t
O número de mols de elétrons transferidos é
\text{mol e}^-=\frac{q}{F}=\frac{I\,t}{F}
Pela estequiometria da reação global, 2 elétrons correspondem a 1 mol de \mathrm{Zn} oxidado (ou 1 mol de \mathrm{Cu}^{2+} reduzido). Logo
\text{mol de Zn oxidado}=\frac{\text{mol e}^-}{2}=\frac{I\,t}{2F}
Esse número de mols altera as concentrações nas meias-células (cada solução tem volume 100{,}0\\ \mathrm{mL}=0{,}1000\\ \mathrm{L}, assumimos volumes constantes).
Observação: o enunciado pede a massa de Zn dissolvida; para isso usamos a massa molar do zinco. Vou usar a massa atômica padrão
M(\mathrm{Zn})=65{,}38\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}
(seu professor costuma aceitar este valor; se preferir outro valor oficial, basta substituir).

Passo 7

Cálculo da carga, mols de elétrons e mols de \mathrm{Zn} oxidado (dados: I=0{,}200\\ \mathrm{A}, t=5{,}00\\ \mathrm{min}=300\\ \mathrm{s}).
Calcule a carga total:
q=I\cdot t=0{,}200\\ \mathrm{A}\times 300\\ \mathrm{s}=60{,}0\\ \mathrm{C}
Mols de elétrons:
\text{mol e}^-=\frac{q}{F}=\frac{60{,}0}{96485}=6{,}2184\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol}
Mols de \mathrm{Zn} dissolvido (cada mol Zn envolve 2 mol e^-):
\text{mol Zn}=\frac{6{,}2184\times 10^{-4}}{2}=3{,}1092\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol}
Massa de \mathrm{Zn} dissolvida:
m(\mathrm{Zn})=\text{mol Zn}\times M(\mathrm{Zn})=3{,}1092\times 10^{-4}\times 65{,}38\approx 0{,}02033\\ \mathrm{g}
Explicação prática: a corrente fez com que \mathrm{Zn} sólido se oxidasse a \mathrm{Zn}^{2+} (aumentando [\mathrm{Zn}^{2+}]) e \mathrm{Cu}^{2+} fosse reduzido a Cu metálico (diminuindo [\mathrm{Cu}^{2+}]). Os cálculos acima dão a quantidade de matéria envolvida.

Passo 8

Atualizando as concentrações após a eletrólise forçada (assumindo volumes constantes de 0{,}1000\\ \mathrm{L} em cada compartimento).
A variação de concentração em cada compartimento é a quantidade de mols formada/consumida dividida pelo volume V=0{,}1000\\ \mathrm{L}.
Variação em [\mathrm{Zn}^{2+}] (aumento):
\Delta[\mathrm{Zn}^{2+}]=\frac{\text{mol Zn}}{V}=\frac{3{,}1092\times 10^{-4}}{0{,}1000}=0{,}0031092\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
Logo
[\mathrm{Zn}^{2+}]_{\text{novo}}=0{,}0500+0{,}0031092=0{,}0531092\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
Variação em [\mathrm{Cu}^{2+}] (diminuição):
\Delta[\mathrm{Cu}^{2+}]=-\frac{\text{mol Zn}}{V}=-0{,}0031092\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
Logo
[\mathrm{Cu}^{2+}]_{\text{novo}}=0{,}0200-0{,}0031092=0{,}0168908\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}
Verificação rápida: as mudanças são pequenas comparadas às concentrações iniciais, faz sentido para corrente/modo/tempo dados.

Passo 9

Calculando o novo potencial E com as concentrações atualizadas (parte final de (c)).
Calcule o novo quociente Q:
Q=\frac{[\mathrm{Zn}^{2+}]_{\text{novo}}}{[\mathrm{Cu}^{2+}]_{\text{novo}}}=\frac{0{,}0531092}{0{,}0168908}=3{,}144164\\ (\text{aprox.})
Use a equação de Nernst com o mesmo \dfrac{RT}{nF}=0{,}0128465\\ \mathrm{V}:
E=1{,}103-0{,}0128465\ln(3{,}144164)
Calcule \ln(3{,}144164)=1{,}145221\ldots, assim
E=1{,}103-0{,}0128465\times 1{,}145221=1{,}103-0{,}014726\approx 1{,}08827\\ \mathrm{V}.
Interpretação: forçar uma corrente que oxida Zn aumenta [\mathrm{Zn}^{2+}] e diminui [\mathrm{Cu}^{2+}], elevando Q e reduzindo o potencial da pilha — o efeito é consistente com o sinal obtido.

Resposta

(a) E=1{,}09122\\ \mathrm{V}
(b) E=1{,}08232\\ \mathrm{V}
(c) [\mathrm{Zn}^{2+}]_{\text{novo}}=0{,}0531092\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}};\; [\mathrm{Cu}^{2+}]_{\text{novo}}=0{,}0168908\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}};\; E=1{,}08827\\ \mathrm{V};\; m(\mathrm{Zn})\approx 0{,}02033\\ \mathrm{g}

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