Considere um planeta de massa
descrevendo uma órbita aproximadamente circular em torno do Sol, de massa
, com raio
e período
. Admita que a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para o movimento orbital.
(a) Escreva a terceira lei de Kepler para órbitas circulares na forma
Explique o significado dessa constante e por que ela é a mesma para todos os planetas em torno do mesmo astro central.
(b) Escreva a expressão da aceleração centrípeta de um corpo em órbita circular de raio
e período
.
(c) Usando a segunda lei de Newton
e a expressão da aceleração centrípeta, mostre que a força que mantém o planeta em órbita deve ser proporcional a
(d) Comente por que esse resultado é compatível com a lei da gravitação universal proposta por Newton.
(a) Escreva a terceira lei de Kepler para órbitas circulares na forma
(b) Escreva a expressão da aceleração centrípeta de um corpo em órbita circular de raio
(c) Usando a segunda lei de Newton
Passo 1
O enunciado dá um planeta de massa
descrevendo uma órbita aproximadamente circular em torno do Sol (massa
), com raio
e período
. Foi dada a hipótese de que a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para o movimento orbital. As perguntas são:
(a) Escrever a terceira lei de Kepler para órbitas circulares na forma
e explicar o significado dessa constante e por que ela é a mesma para todos os planetas em torno do mesmo astro central.
(b) Escrever a expressão da aceleração centrípeta de um corpo em órbita circular de raio e período
.
(b) Escrever a expressão da aceleração centrípeta de um corpo em órbita circular de raio
(c) Usando
e a expressão da aceleração centrípeta, mostrar que a força que mantém o planeta em órbita deve ser proporcional a
(d) Comentar por que esse resultado é compatível com a lei da gravitação universal de Newton.
Passo 2
Primeiros conceitos úteis (explicação didática, sem pular etapas):
- O período
é o tempo que o planeta leva para completar uma volta. A distância percorrida numa volta (circunferência) é . Portanto a velocidade escalar média/constante na órbita circular é
Expliquei:
é quanto espaço o corpo percorre por unidade de tempo; numa órbita circular com velocidade constante, a circunferência inteira é percorrida em um período
.
Passo 3
Definição e forma da terceira lei de Kepler (passo pedido em (a)):
A terceira lei de Kepler (forma para órbitas circulares) diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio:
A terceira lei de Kepler (forma para órbitas circulares) diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio:
Escrevendo a proporcionalidade como igualdade com uma constante, obtemos exatamente
onde
é uma constante para um dado astro central. Explicação do significado de
:
é um número que relaciona quanto tempo objetos em diferentes órbitas levam para completar uma volta com o tamanho dessas órbitas. Por que é a mesma para todos os planetas em torno do mesmo astro central? Porque os planetas sentem a mesma intensidade do campo gravitacional gerado pelo mesmo astro central (a massa
do astro é a mesma para todos), e as leis físicas fundamentais (constante gravitacional) são as mesmas. Logo,
depende apenas de propriedades do astro central (e de constantes universais), não da massa do planeta
nem de características individuais de cada planeta — por isso todos os planetas do mesmo sistema obedecem ao mesmo
.
Passo 4
Expressão explícita de
quando se admite a lei da gravitação (opcional, para ficar claro o que o
vale): se a força centrípeta for exatamente a força gravitacional newtoniana (isto será mostrado e justificado adiante), então um cálculo mostra que
onde
é a constante gravitacional universal e
a massa do astro central. Assim
é o mesmo para todos os planetas porque depende só de
e de
.
Passo 5
Aceleração centrípeta em termos de
e
(resposta para (b)) — desenvolvimento passo a passo:
- Em movimento circular com velocidade tangencial
, a aceleração centrípeta (aquela que muda apenas a direção da velocidade, mantendo o corpo curvando) vale
Expliquei: esta é a fórmula padrão da cinemática para aceleração dirigida ao centro necessária para manter uma trajetória circular de raio
quando a velocidade tangencial tem módulo
.
- Substituindo
na expressão acima:
Portanto a aceleração centrípeta escrita em função de
e
é
Comentei: esta fórmula é útil porque expressa a aceleração só com grandezas geométricas da órbita (
e
).
Passo 6
Usar
para relacionar a força com
(resolução de (c), passo a passo):
- Pela segunda lei de Newton, a força resultante que mantém o planeta em movimento circular é
- Substituindo a expressão de
obtida:
- Agora use a terceira lei de Kepler na forma
(com constante para o mesmo astro central). Substitua na expressão de :
- Desta expressão vemos que a dependência com
é explicitamente
Expliquei: a massa do planeta
e o fator
são constantes (para uma dada órbita e dado astro), então a única dependência com o raio
é
. Isso é o que se pedia mostrar.
Passo 7
Conexão com a lei da gravitação universal de Newton (resposta para (d)):
- A lei da gravitação universal de Newton afirma que dois corpos de massas
e se atraem com uma força
onde
é a constante gravitacional universal. Compare com o que obtivemos: mostramos que, para que se mantenha a terceira lei de Kepler (
), a força centrípeta deve variar com
. Isso é exatamente a dependência radial da lei de Newton. Além disso, se identificarmos a constante
da terceira lei com
(como mostrado antes), então a expressão completa da força fica
ou seja, obtém‑se exatamente a forma quantitativa da lei da gravitação de Newton. Conclusão: o resultado
é compatível e coerente com a lei de Newton — Newton mostrou precisamente que uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância explica as leis de Kepler observadas.
Resposta
(a)
(constante). Essa constante representa a relação entre período e tamanho da órbita e depende apenas da massa do astro central
e de constantes universais; por isso todos os planetas que orbitam o mesmo astro têm o mesmo
. Quando se admite a lei de Newton,
.
(b) .
(c) A partir de e da terceira lei de Kepler obtemos
, portanto
.
(d) Compatível porque a lei da gravitação universal de Newton dá exatamente : mesma dependência
e mesmo fator constante quando se identifica
.
(b)
(c) A partir de
(d) Compatível porque a lei da gravitação universal de Newton dá exatamente