Considere um planeta de massa m descrevendo uma órbita aproximadamente circular em torno do Sol, de massa M, com raio r e período T. Admita que a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para o movimento orbital.
(a) Escreva a terceira lei de Kepler para órbitas circulares na forma
\frac{T^{2}}{r^{3}}=\text { constante. }
Explique o significado dessa constante e por que ela é a mesma para todos os planetas em torno do mesmo astro central.
(b) Escreva a expressão da aceleração centrípeta de um corpo em órbita circular de raio r e período T.
(c) Usando a segunda lei de Newton (F=m a) e a expressão da aceleração centrípeta, mostre que a força que mantém o planeta em órbita deve ser proporcional a
F \propto \frac{1}{r^{2}}
(d) Comente por que esse resultado é compatível com a lei da gravitação universal proposta por Newton.

Passo 1

O enunciado dá um planeta de massa m descrevendo uma órbita aproximadamente circular em torno do Sol (massa M), com raio r e período T. Foi dada a hipótese de que a força gravitacional fornece a força centrípeta necessária para o movimento orbital. As perguntas são:
(a) Escrever a terceira lei de Kepler para órbitas circulares na forma \frac{T^{2}}{r^{3}}=\text{constante}
e explicar o significado dessa constante e por que ela é a mesma para todos os planetas em torno do mesmo astro central.
(b) Escrever a expressão da aceleração centrípeta de um corpo em órbita circular de raio r e período T.
(c) Usando F=ma e a expressão da aceleração centrípeta, mostrar que a força que mantém o planeta em órbita deve ser proporcional a F \propto \frac{1}{r^{2}}.
(d) Comentar por que esse resultado é compatível com a lei da gravitação universal de Newton.

Passo 2

Primeiros conceitos úteis (explicação didática, sem pular etapas):
  • O período T é o tempo que o planeta leva para completar uma volta. A distância percorrida numa volta (circunferência) é 2\pi r. Portanto a velocidade escalar média/constante na órbita circular é
v=\frac{\text{distância}}{\text{tempo}}=\frac{2\pi r}{T}.â
Expliquei: v é quanto espaço o corpo percorre por unidade de tempo; numa órbita circular com velocidade constante, a circunferência inteira é percorrida em um período T.

Passo 3

Definição e forma da terceira lei de Kepler (passo pedido em (a)):
A terceira lei de Kepler (forma para órbitas circulares) diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio:
T^{2}\propto r^{3}.
Escrevendo a proporcionalidade como igualdade com uma constante, obtemos exatamente
\frac{T^{2}}{r^{3}}=k,
onde k é uma constante para um dado astro central. Explicação do significado de k: k é um número que relaciona quanto tempo objetos em diferentes órbitas levam para completar uma volta com o tamanho dessas órbitas. Por que é a mesma para todos os planetas em torno do mesmo astro central? Porque os planetas sentem a mesma intensidade do campo gravitacional gerado pelo mesmo astro central (a massa M do astro é a mesma para todos), e as leis físicas fundamentais (constante gravitacional) são as mesmas. Logo, k depende apenas de propriedades do astro central (e de constantes universais), não da massa do planeta m nem de características individuais de cada planeta — por isso todos os planetas do mesmo sistema obedecem ao mesmo k.

Passo 4

Expressão explícita de k quando se admite a lei da gravitação (opcional, para ficar claro o que o k vale): se a força centrípeta for exatamente a força gravitacional newtoniana (isto será mostrado e justificado adiante), então um cálculo mostra que
k=\frac{4\pi^{2}}{G M},
onde G é a constante gravitacional universal e M a massa do astro central. Assim k é o mesmo para todos os planetas porque depende só de G e de M.

Passo 5

Aceleração centrípeta em termos de r e T (resposta para (b)) — desenvolvimento passo a passo:
  • Em movimento circular com velocidade tangencial v, a aceleração centrípeta (aquela que muda apenas a direção da velocidade, mantendo o corpo curvando) vale
a_c=\frac{v^{2}}{r}.
Expliquei: esta é a fórmula padrão da cinemática para aceleração dirigida ao centro necessária para manter uma trajetória circular de raio r quando a velocidade tangencial tem módulo v.
  • Substituindo v=\dfrac{2\pi r}{T} na expressão acima:
a_c=\frac{\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^{2}}{r} =\frac{4\pi^{2} r^{2}}{T^{2}}\cdot\frac{1}{r} =\frac{4\pi^{2} r}{T^{2}}.
Portanto a aceleração centrípeta escrita em função de r e T é
a_c=\frac{4\pi^{2} r}{T^{2}}.
Comentei: esta fórmula é útil porque expressa a aceleração só com grandezas geométricas da órbita ( r e T).

Passo 6

Usar F=ma para relacionar a força com r (resolução de (c), passo a passo):
  • Pela segunda lei de Newton, a força resultante que mantém o planeta em movimento circular é
F=m\,a_c.
  • Substituindo a expressão de a_c obtida:
F=m\cdot\frac{4\pi^{2} r}{T^{2}}.
  • Agora use a terceira lei de Kepler na forma T^{2}=k\,r^{3} (com k constante para o mesmo astro central). Substitua T^{2} na expressão de F:
F=m\cdot\frac{4\pi^{2} r}{k\,r^{3}}=m\cdot\frac{4\pi^{2}}{k}\cdot\frac{1}{r^{2}}.
  • Desta expressão vemos que a dependência com r é explicitamente
F\propto\frac{1}{r^{2}}.
Expliquei: a massa do planeta m e o fator \dfrac{4\pi^{2}}{k} são constantes (para uma dada órbita e dado astro), então a única dependência com o raio r é 1/r^{2}. Isso é o que se pedia mostrar.

Passo 7

Conexão com a lei da gravitação universal de Newton (resposta para (d)):
  • A lei da gravitação universal de Newton afirma que dois corpos de massas M e m se atraem com uma força
F=\frac{G\,M\,m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional universal. Compare com o que obtivemos: mostramos que, para que se mantenha a terceira lei de Kepler ( T^{2}\propto r^{3}), a força centrípeta deve variar com 1/r^{2}. Isso é exatamente a dependência radial da lei de Newton. Além disso, se identificarmos a constante k da terceira lei com \dfrac{4\pi^{2}}{G M} (como mostrado antes), então a expressão completa da força fica
F=m\cdot\frac{4\pi^{2}}{k}\cdot\frac{1}{r^{2}}=m\cdot G M\cdot\frac{1}{r^{2}}=\frac{G M m}{r^{2}},
ou seja, obtém‑se exatamente a forma quantitativa da lei da gravitação de Newton. Conclusão: o resultado F\propto 1/r^{2} é compatível e coerente com a lei de Newton — Newton mostrou precisamente que uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância explica as leis de Kepler observadas.

Resposta

(a) \dfrac{T^{2}}{r^{3}}=k (constante). Essa constante representa a relação entre período e tamanho da órbita e depende apenas da massa do astro central M e de constantes universais; por isso todos os planetas que orbitam o mesmo astro têm o mesmo k. Quando se admite a lei de Newton, k=\dfrac{4\pi^{2}}{G M}.
(b) a_c=\dfrac{4\pi^{2} r}{T^{2}}.
(c) A partir de F=ma_c e da terceira lei de Kepler obtemos F=m\cdot\dfrac{4\pi^{2}}{k}\cdot\dfrac{1}{r^{2}}, portanto F\propto\dfrac{1}{r^{2}}.
(d) Compatível porque a lei da gravitação universal de Newton dá exatamente F=\dfrac{G M m}{r^{2}}: mesma dependência 1/r^{2} e mesmo fator constante quando se identifica k=\dfrac{4\pi^{2}}{G M}.

Exercícios relacionados