1. Leis de Kepler

(a) Enuncie as três leis de Kepler para o movimento dos planetas ao redor do Sol.
(b) Explique qualitativamente o significado físico de cada lei, destacando:
  • O formato das órbitas;
  • A ideia de áreas iguais em tempos iguais;
  • A relação entre o período de translação e o raio médio da órbita.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Enunciar as três leis de Kepler para o movimento dos planetas ao redor do Sol.
  • (b) Explicar qualitativamente o significado físico de cada lei, destacando:
    • o formato das órbitas;
    • a ideia de áreas iguais em tempos iguais;
    • a relação entre o período de translação e o raio médio da órbita.
Informações dadas: nenhum número ou figura — é um pedido teórico. Vou enunciar cada lei e depois explicar, passo a passo e com as fórmulas e ideias necessárias para entender na prova.

Passo 2

Lei 1 (Lei das órbitas) — enunciado claro:
Um planeta descreve uma órbita em forma de elipse cujo centro do Sol ocupa um dos focos da elipse.
Explicação didática sobre a forma da órbita:
  • O que é uma elipse? É o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante. Seja a o semieixo maior e b o semieixo menor; a distância focal é dada por c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}. A excentricidade é e=\dfrac{c}{a}, com 0\le e<1.
  • Caso particular: se e=0 a elipse vira círculo de raio a (o Sol no centro). Para órbitas planetárias reais, e costuma ser pequeno (órbitas quase circulares), mas pode variar.
  • Representação em coordenadas polares (com foco no polo): a distância do planeta ao foco (Sol) quando o ângulo é \theta é
r(\theta)=\dfrac{a(1-e^{2})}{1+e\cos\theta}.
Expliquei cada símbolo: r = distância planeta–Sol; a = semieixo maior; e = excentricidade; \theta = ângulo polar medido a partir do periélio.
Por que isso importa na prova: reconhecer que “elipse com o Sol num foco” significa que a equação acima vale e que a órbita tem periélio (menor r) e afélio (maior r).

Passo 3

Lei 2 (Lei das áreas) — enunciado claro:
A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais; ou seja, a razão entre a área varrida e o tempo é constante.
Expressão e interpretação física:
  • Denotando A(t) a área varrida pela linha Sol–planeta até o tempo t, a lei diz que
\frac{dA}{dt}=\text{const.}
ou seja, a velocidade areal é constante.
Derivação simples e intuição (passo a passo, sem pular etapas):
  1. Definição da velocidade areal: em um intervalo de tempo pequeno \Delta t, se o raio vetorial é \mathbf{r} e a variação é \Delta\mathbf{r}\approx\mathbf{v}\,\Delta t, a área do triângulo aproximado é \Delta A\approx\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times\Delta\mathbf{r}|=\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}|\,\Delta t. Logo, em limite
\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}|.
  1. Agora relacionar com momento angular: o momento angular do planeta (em módulo) é
L=|\mathbf{r}\times m\mathbf{v}|=m\,|\mathbf{r}\times\mathbf{v}|.
Portanto
\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}.
  1. Se a força sobre o planeta é central (aponta sempre para o Sol), o torque \boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times\mathbf{F} é zero, logo \dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=\boldsymbol{\tau}=0 e \mathbf{L} é constante. Assim \dfrac{dA}{dt} é constante.
Interpretação física amigável:
  • “Áreas iguais em tempos iguais” significa que quando o planeta está mais perto do Sol (periélio) ele se desloca mais rápido, varrendo uma área fina mas comprida; quando está mais longe (afélio) anda mais devagar, varrendo uma área mais curta mas larga. O produto efetivo \tfrac{1}{2}r v_{\perp} fica constante.
  • Consequência fácil de lembrar na prova: conservação do momento angular => velocidade areal constante => variação de velocidade ao longo da órbita.

Passo 4

Lei 3 (Lei dos períodos) — enunciado claro:
Os quadrados dos períodos de revolução T dos planetas são proporcionais aos cubos dos semieixos maiores a de suas órbitas. Em fórmula:
T^{2}\propto a^{3}.
Forma completa (para um corpo de massa desprezível orbitando uma massa central M sob gravitação newtoniana):
T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G M}\,a^{3},
onde G é a constante gravitacional e M é a massa do Sol (ou do corpo dominante).
Derivação simples (caso circular — caminho curto e suficiente para prova):
  1. Para órbita circular de raio r a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta:
\frac{G M m}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r},
onde m é a massa do planeta (cancela-se), v é a velocidade orbital.
2. Da igualdade surge
v^{2}=\frac{G M}{r}.
  1. O período é T=\dfrac{2\pi r}{v}. Substituindo v,
T=2\pi r\sqrt{\frac{1}{G M/r}}=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}.
  1. Elevando ao quadrado:
T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G M}\,r^{3}.
Para elipses, a mesma relação vale se substituir r por a (o semieixo maior): T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{G M}\,a^{3}. Newton mostrou que a lei vale para elipses inteiras, não só círculos.
Significado físico e exemplos:
  • A constante \dfrac{4\pi^{2}}{G M} depende só da massa central M. Para planetas do sistema solar, com M massa do Sol, cada planeta tem T^{2}/a^{3} praticamente igual.
  • Consequência prática: aumentar o semieixo maior por um fator k aumenta o período por k^{3/2}. Ex.: dobrar a faz T aumentar por 2^{3/2}\approx 2{,}83.
  • Exemplo simples: a Terra tem a\approx 1 UA e T\approx 1 ano -> é uma referência prática.

Passo 5

Conexões entre as leis e intuição física (resumo útil para prova):
  • Lei 1 dá a forma geométrica da órbita (elipse, parâmetros a,e). Saber reconhecer a e e é útil para cálculos de distância mínima e máxima.
  • Lei 2 é a expressão da conservação do momento angular em movimento sob força central; permite deduzir que o planeta vai mais rápido perto do Sol (periélio) e mais devagar longe (afélio). Na prova, se pedirem proporções de velocidades em pontos diferentes, use r v_{\perp}= const (ou dA/dt= const).
  • Lei 3 fornece a escala temporal da órbita em função do tamanho médio da órbita. Na prova, se derem a e pedirem T (ou relação entre dois planetas), use
\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}=\frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}.
Isso evita cálculos com G e M quando se trabalha com razões.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (amigável e rápido):
  • Se a questão pedir “por que o planeta acelera perto do Sol?” responda: porque a componente tangencial do momento angular aumenta quando r diminui para manter L constante — ou de forma mais simples: energia potencial mais negativa converte em energia cinética.
  • Se pedirem uma derivação curta da 3ª lei, faça o caminho pelo equilíbrio força gravitacional = força centrípeta (apenas para aproximação circular) — é rápido e aceitável em provas básicas.
  • Memorize as formas-chave: \dfrac{dA}{dt}= const e T^{2}\propto a^{3}. Com isso, você resolve as questões qualitativas e muitas quantitativas sem suar demais.

Resposta

(a) Lei 1: Cada planeta descreve uma órbita em forma de elipse com o Sol num dos focos. Lei 2: A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais (velocidade areal constante). Lei 3: Os quadrados dos períodos são proporcionais aos cubos dos semieixos maiores, T^{2}\propto a^{3} (mais precisamente T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{G M}\,a^{3} para massa central M).
(b) Formato das órbitas: são elipses caracterizadas por semieixo maior a e excentricidade e; e=0 é círculo e valores maiores de e tornam a órbita mais alongada. Ideia de áreas iguais em tempos iguais: significa que a velocidade areal \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}| é constante, consequência da conservação do momento angular (força central); assim o planeta vai mais rápido no periélio e mais devagar no afélio. Relação período–raio médio: períodos crescem com o tamanho médio da órbita segundo T^{2}\propto a^{3}; em aproximação circular deriva-se isso igualando força gravitacional e força centrípeta, resultando em T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}}{G M}\,a^{3}.

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