Considere um Planeta A que tem o dobro da massa da Terra e seu raio representa metade do raio da Terra. Comparado aos valores na Terra (ou em termos de G, M, e R) quanto vale:
a) A aceleração da gravidade na superficie do Planeta A: \_\_\_\_ ( 100 )
b) A velocidade de escape no Planeta A: \_\_\_\_ (2) হযs)

Passo 1

O enunciado dá um Planeta A com massa igual ao dobro da massa da Terra e raio igual à metade do raio da Terra. As perguntas são:
  • (a) Qual é a aceleração da gravidade na superfície do Planeta A, expressa em termos de G, M e R (ou comparada com a gravidade da Terra)?
  • (b) Qual é a velocidade de escape no Planeta A, expressa em termos de G, M e R (ou comparada com a velocidade de escape da Terra)?
Informações dadas (vou listar explicitamente):
  • Massa da Terra: M.
  • Raio da Terra: R.
  • Constante gravitacional: G.
  • Para o Planeta A: M_A = 2M e R_A = \tfrac{1}{2}R.

Passo 2

Lembra da fórmula da aceleração da gravidade na superfície de um corpo esférico? Ela vem da Lei da Gravitação de Newton e diz que a aceleração gravitacional na superfície é a força por unidade de massa, ou seja:
g=\frac{GM}{R^{2}}.
Aqui eu explico cada símbolo: G é a constante gravitacional, M é a massa do corpo (no caso da Terra), R é o raio do corpo, e g é a aceleração da gravidade na superfície. Essa fórmula é direta: a força gravitacional sobre uma massa teste m é F=G\frac{Mm}{R^{2}}; dividindo por m vem g=F/m.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula para o Planeta A. Substituímos M_A=2M e R_A=\tfrac{1}{2}R na expressão de g:
g_A=\frac{G M_A}{R_A^{2}}=\frac{G(2M)}{\left(\tfrac{R}{2}\right)^{2}}.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro calcule o quadrado do raio:
\left(\tfrac{R}{2}\right)^{2}=\frac{R^{2}}{4}.
Então
g_A=\frac{2GM}{R^{2}/4}.
Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso, logo
g_A=2GM\cdot\frac{4}{R^{2}}=\frac{8GM}{R^{2}}.

Passo 5

Relacionando com a gravidade da Terra \,g_{\text{Terra}}=\dfrac{GM}{R^{2}}, temos
g_A=8\frac{GM}{R^{2}}=8\,g_{\text{Terra}}.
Interpretação: a gravidade na superfície do Planeta A é oito vezes a gravidade da Terra. Sei que isso assusta um pouco, mas é só a consequência de ter mais massa e raio bem menor ao mesmo tempo.

Passo 6

Agora a velocidade de escape. A ideia física: a velocidade de escape mínima é a velocidade inicial que uma massa precisa para que sua energia cinética compense a energia potencial gravitacional e ela chegue ao infinito com energia zero. Igualando energia cinética à energia potencial (módulo), temos:
\frac{1}{2} m v_{\text{esc}}^{2}=\frac{G M m}{R}.
Cancelando m e resolvendo para v_{\text{esc}} dá a fórmula padrão:
v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}.
Aqui m é a massa do objeto lançado (corta nas contas), M e R são massa e raio do planeta, e v_{\text{esc}} é a velocidade de escape na superfície.

Passo 7

Aplicamos a fórmula ao Planeta A substituindo M_A=2M e R_A=\tfrac{R}{2}:
v_{\text{esc},A}=\sqrt{\frac{2G M_A}{R_A}}=\sqrt{\frac{2G(2M)}{R/2}}.

Passo 8

Simplificamos a expressão com cuidado:
v_{\text{esc},A}=\sqrt{\frac{4GM}{R/2}}=\sqrt{\frac{4GM\cdot 2}{R}}=\sqrt{\frac{8GM}{R}}.
Agora compare com a velocidade de escape da Terra \,v_{\text{esc, Terra}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}. Note que
\sqrt{\frac{8GM}{R}}=\sqrt{4}\,\sqrt{\frac{2GM}{R}}=2\sqrt{\frac{2GM}{R}}=2\,v_{\text{esc, Terra}}.

Passo 9

Interpretação final: a velocidade de escape no Planeta A é o dobro da velocidade de escape da Terra. Então, apesar da gravidade ser 8 vezes maior, a velocidade de escape cresce apenas por fator 2 (porque velocidade escala como raiz de GM/R) — isso é um bom ponto para entender: energias/cinéticas dependem de quadrado da velocidade.

Resposta

g_A=\dfrac{8GM}{R^{2}}=8\,g_{\text{Terra}}
v_{\text{esc},A}= \sqrt{\dfrac{8GM}{R}}=2\,v_{\text{esc, Terra}}

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