Considere um Planeta
que tem o dobro da massa da Terra e seu raio representa metade do raio da Terra. Comparado aos valores na Terra (ou em termos de G, M, e R) quanto vale:
a) A aceleração da gravidade na superficie do Planeta A:
( 100 )
b) A velocidade de escape no Planeta A:
(2) হযs)
a) A aceleração da gravidade na superficie do Planeta A:
b) A velocidade de escape no Planeta A:
Passo 1
O enunciado dá um Planeta
com massa igual ao dobro da massa da Terra e raio igual à metade do raio da Terra. As perguntas são:
- (a) Qual é a aceleração da gravidade na superfície do Planeta
, expressa em termos de , e (ou comparada com a gravidade da Terra)? - (b) Qual é a velocidade de escape no Planeta
, expressa em termos de , e (ou comparada com a velocidade de escape da Terra)?
Informações dadas (vou listar explicitamente):
- Massa da Terra:
. - Raio da Terra:
. - Constante gravitacional:
. - Para o Planeta
: e .
Passo 2
Lembra da fórmula da aceleração da gravidade na superfície de um corpo esférico? Ela vem da Lei da Gravitação de Newton e diz que a aceleração gravitacional na superfície é a força por unidade de massa, ou seja:
Aqui eu explico cada símbolo:
é a constante gravitacional,
é a massa do corpo (no caso da Terra),
é o raio do corpo, e
é a aceleração da gravidade na superfície. Essa fórmula é direta: a força gravitacional sobre uma massa teste
é
; dividindo por
vem
.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula para o Planeta
. Substituímos
e
na expressão de
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro calcule o quadrado do raio:
Então
Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso, logo
Passo 5
Relacionando com a gravidade da Terra
, temos
Interpretação: a gravidade na superfície do Planeta
é oito vezes a gravidade da Terra. Sei que isso assusta um pouco, mas é só a consequência de ter mais massa e raio bem menor ao mesmo tempo.
Passo 6
Agora a velocidade de escape. A ideia física: a velocidade de escape mínima é a velocidade inicial que uma massa precisa para que sua energia cinética compense a energia potencial gravitacional e ela chegue ao infinito com energia zero. Igualando energia cinética à energia potencial (módulo), temos:
Cancelando
e resolvendo para
dá a fórmula padrão:
Aqui
é a massa do objeto lançado (corta nas contas),
e
são massa e raio do planeta, e
é a velocidade de escape na superfície.
Passo 7
Aplicamos a fórmula ao Planeta
substituindo
e
:
Passo 8
Simplificamos a expressão com cuidado:
Agora compare com a velocidade de escape da Terra
. Note que
Passo 9
Interpretação final: a velocidade de escape no Planeta
é o dobro da velocidade de escape da Terra. Então, apesar da gravidade ser 8 vezes maior, a velocidade de escape cresce apenas por fator 2 (porque velocidade escala como raiz de
) — isso é um bom ponto para entender: energias/cinéticas dependem de quadrado da velocidade.