a) Desenhe um diagrama de blocos para a planta com um integrador para cada variável de estados.
b) Encontre a função de transferência usando álgebra matricial.
c) Encontre os polos do sistema e defina a estabilidade assintótica do mesmo.
(a) Desenhar um diagrama de blocos com um integrador para cada variável de estado.
(b) Encontrar a função de transferência G(s)=Y(s)/U(s) usando álgebra matricial.
(c) Encontrar os polos do sistema e definir a estabilidade assintótica.
Dados importantes extraídos do enunciado:
Matriz de estado \displaystyle A=\begin{bmatrix}0 & 1\\[4pt]7 & -4\end{bmatrix}.
Vetor de entrada \displaystyle B=\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix}.
Vetor de saída \displaystyle C=\begin{bmatrix}1 & 3\end{bmatrix}.
Não foi fornecido termo direto, então D=0 (assume-se D=\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}).]
Passo 2
(a) Como montar o diagrama de blocos com um integrador por variável de estado — descrição passo a passo (para você desenhar na folha):
Objetivo: cada integrador produzirá uma variável de estado como saída: a saída do primeiro integrador é x_1(t) e a do segundo é x_2(t).
Escreve explicitamente as equações escalares (essas vêm da equação de estado):
\dot{x}_1 = 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 1\cdot u = x_2 + u,
\dot{x}_2 = 7\cdot x_1 -4\cdot x_2 + 2\cdot u.
Elementos do bloco:
Dois blocos “integrador” em paralelo (ou verticalmente alinhados). A saída do integrador i é x_i; a entrada do integrador i é \dot{x}_i.
Dois nós somadores (um para \dot{x}_1 e outro para \dot{x}_2):
No somador que gera \dot{x}_1: entradas são +1 vezes x_2 (um ganho que pega x_2) e +1 vezes u.
No somador que gera \dot{x}_2: entradas são +7 vezes x_1, -4 vezes x_2, e +2 vezes u.
O sinal u vai para dois ganhos em paralelo (ganhos 1 e 2) que alimentam os dois somadores.
Para a saída y: um somador/combinador que recebe 1\cdot x_1 e 3\cdot x_2 (ou um ganho 1 sobre x_1 e ganho 3 sobre x_2) e soma para produzir y.
Fluxo típico no desenho: u entra, é escalado e somado com as contribuições dos estados; o resultado vai para cada integrador; as saídas dos integradores alimentam de volta os somadores (retroalimentação por blocos ganho) e também alimentam o bloco que gera y.
Dica prática para desenhar: desenhe dois integradores empilhados com saídas x_1 e x_2. Das saídas faça ramos para ganhos 7, -4, 1, 3 conforme indicado acima, que retornam aos somadores que alimentam as entradas dos integradores. Coloque u com dois ramos para ganhos 1 e 2 indo aos somadores.
Passo 3
(b) Método para obter a função de transferência a partir do espaço de estados (aula rápida e intuitiva).
Fazer transformada de Laplace assumindo condições iniciais nulas (\mathbf{x}(0)=0). A transformada de \dot{\mathbf{x}}(t) é s\mathbf{X}(s).
Para estabilidade assintótica de um sistema linear contínuo é necessário que todas as partes reais dos polos sejam negativas.
Aqui um polo tem parte real positiva (s_1\approx 1{,}3166>0). Logo o sistema é instável (mais precisamente: tem um modo instável, resposta que cresce exponencialmente).
Não há cancelação de polo/zero (verificação rápida: o numerador 7s+27 não é zero em s=s_1 nem em s=s_2), então os polos do TF coincidem com os autovalores de A.
Resposta
(a) Diagrama de blocos: dois integradores (saídas x_1 e x_2); somador para \dot{x}_1 com entradas +1\cdot x_2 e +1\cdot u (pois \dot{x}_1=x_2+u); somador para \dot{x}_2 com entradas +7\cdot x_1, -4\cdot x_2 e +2\cdot u (pois \dot{x}_2=7x_1-4x_2+2u); saída y obtida por y=1\cdot x_1+3\cdot x_2.
(b) \displaystyle G(s)=\dfrac{7s+27}{s^2+4s-7}.
(c) Polos: \displaystyle s=-2\pm\sqrt{11} (aprox. s_1\approx 1{,}3166, s_2\approx -5{,}3166). Como existe um polo com parte real positiva, o sistema é instável (não é assintoticamente estável).