As funções de transferência fornecidas abaixo correspondem a sistemas causais. Para cada sistema, esboce a localização dos polos no plano complexo e determine a estabilidade assintótica do mesmo.
H(s)=\frac{s^{2}+1}{s\left(s^{2}+5 s+6\right)}

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência
H(s)=\frac{s^{2}+1}{s\left(s^{2}+5 s+6\right)}
e pede duas coisas:
  • Esboçar a localização dos polos no plano complexo.
  • Determinar a estabilidade assintótica do sistema.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de H(s) está totalmente especificada.
  • O sistema é causal (isso é importante para interpretação da estabilidade temporal).

Passo 2

O que significa encontrar polos e zeros (mini-aula rápida, sem pressa):
  • Zeros de H(s) são os valores de s que anulam o numerador; eles aparecem como pontos onde a resposta em frequência se anula.
  • Polos de H(s) são os valores de s que anulam o denominador; eles determinam o comportamento temporal (termos exponenciais) da resposta do sistema.
  • Para analisar estabilidade assintótica de um sistema linear causal contínuo, a regra prática é: o sistema é assintoticamente estável se, e somente se, todos os polos de H(s) têm parte real estritamente negativa (ou seja, todos estão na semi-plano esquerdo aberto, \operatorname{Re}(s)<0). Polos com \operatorname{Re}(s)=0 (no eixo imaginário, inclusive em s=0) impedem decaimento para zero do impulso e, portanto, quebram a estabilidade assintótica.

Passo 3

Vamos fatorar numerador e denominador para achar polos e zeros.
Fatorando o denominador:
s\left(s^{2}+5s+6\right)=s\,(s+2)(s+3).
Fatorando o numerador:
s^{2}+1=(s-\mathrm{j})(s+\mathrm{j}),
onde \mathrm{j} é a unidade imaginária.
Logo podemos reescrever
H(s)=\frac{(s-\mathrm{j})(s+\mathrm{j})}{s\,(s+2)(s+3)}.

Passo 4

A partir da fatoração lemos diretamente polos e zeros:
  • Polos: \;s=0,\;s=-2,\;s=-3. Todos são polos simples (multiplicidade 1).
  • Zeros: \;s=\mathrm{j},\;s=-\mathrm{j} (notei isto a título informativo; a pergunta pediu especificamente os polos).

Passo 5

Descrição do esboço da localização no plano complexo (instrução para desenhar):
  • Marcar no eixo real (horizontal) três marcas: em s=-3, s=-2 e s=0.
  • Colocar um símbolo de polo (por exemplo, um “×”) em cada um desses pontos: × em -3, × em -2, × em 0.
  • Colocar símbolos de zero (por exemplo, círculos “o”) nos pontos s=\mathrm{j} e s=-\mathrm{j} sobre o eixo imaginário, a uma unidade acima e abaixo da origem.
    Observação: \,-2 e \,-3 estão no semiplano esquerdo (bons para estabilidade), enquanto 0 está exatamente na fronteira (eixo imaginário).

Passo 6

Vamos ver no domínio do tempo por que o polo em s=0 impede a estabilidade assintótica. Faço uma decomposição em frações parciais para expor os termos no tempo:
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{s^{2}+1}{s(s+2)(s+3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+3}.
Calculando os resíduos (avaliando multiplicando e colocando os valores dos polos):
Para A (polo em s=0):
A=\left.\frac{s^{2}+1}{(s+2)(s+3)}\right|_{s=0}=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}.
Para B (polo em s=-2):
B=\left.\frac{s^{2}+1}{s(s+3)}\right|_{s=-2}=\frac{(-2)^{2}+1}{(-2)(1)}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}.
Para C (polo em s=-3):
C=\left.\frac{s^{2}+1}{s(s+2)}\right|_{s=-3}=\frac{(-3)^{2}+1}{(-3)(-1)}=\frac{10}{3}.
Portanto
H(s)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{s}-\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{s+2}+\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{s+3}.
Aplicando transformada inversa de Laplace (para sinais causais, multiplicar por u(t) se quiser explicitar):
h(t)=\frac{1}{6}\,u(t)-\frac{5}{2}\,e^{-2t}u(t)+\frac{10}{3}\,e^{-3t}u(t).

Passo 7

Interpretação temporal e conclusão sobre estabilidade:
  • Os termos com e^{-2t} e e^{-3t} decaem para zero quando t\to\infty porque -2 e -3 têm parte real negativa.
  • O termo \dfrac{1}{6}\,u(t) é constante (não decai), pois vem do polo em s=0 (a transformada inversa de \dfrac{1}{s} é u(t)). Assim, a resposta ao impulso tende para \dfrac{1}{6} quando t\to\infty, ou seja, não tende a zero.
  • Como a definição de estabilidade assintótica para um sistema causal LTI exige que a resposta ao impulso tenda a zero quando t\to\infty, concluímos que o sistema NÃO é assintoticamente estável. Em palavras gentis: dois polos estão bem à esquerda (bonzinhos), mas o polo na origem arruina o decaimento total — sobrou um offset constante.

Resposta

Polos: \;s=0,\;s=-2,\;s=-3.
O sistema não é assintoticamente estável (há um polo em s=0, que gera um termo constante no impulso e impede o decaimento para zero).

Exercícios relacionados