As funções de transferência fornecidas abaixo correspondem a sistemas causais. Para cada sistema, esboce a localização dos polos no plano complexo e determine a estabilidade assintótica do mesmo. H(s)=\frac{s^{2}+1}{s\left(s^{2}+5 s+6\right)}
Passo 1
O enunciado fornece a função de transferência
H(s)=\frac{s^{2}+1}{s\left(s^{2}+5 s+6\right)}
e pede duas coisas:
Esboçar a localização dos polos no plano complexo.
Determinar a estabilidade assintótica do sistema.
Informações relevantes dadas:
A expressão de H(s) está totalmente especificada.
O sistema é causal (isso é importante para interpretação da estabilidade temporal).
Passo 2
O que significa encontrar polos e zeros (mini-aula rápida, sem pressa):
Zeros de H(s) são os valores de s que anulam o numerador; eles aparecem como pontos onde a resposta em frequência se anula.
Polos de H(s) são os valores de s que anulam o denominador; eles determinam o comportamento temporal (termos exponenciais) da resposta do sistema.
Para analisar estabilidade assintótica de um sistema linear causal contínuo, a regra prática é: o sistema é assintoticamente estável se, e somente se, todos os polos de H(s) têm parte real estritamente negativa (ou seja, todos estão na semi-plano esquerdo aberto, \operatorname{Re}(s)<0). Polos com \operatorname{Re}(s)=0 (no eixo imaginário, inclusive em s=0) impedem decaimento para zero do impulso e, portanto, quebram a estabilidade assintótica.
Passo 3
Vamos fatorar numerador e denominador para achar polos e zeros.
A partir da fatoração lemos diretamente polos e zeros:
Polos: \;s=0,\;s=-2,\;s=-3. Todos são polos simples (multiplicidade 1).
Zeros: \;s=\mathrm{j},\;s=-\mathrm{j} (notei isto a título informativo; a pergunta pediu especificamente os polos).
Passo 5
Descrição do esboço da localização no plano complexo (instrução para desenhar):
Marcar no eixo real (horizontal) três marcas: em s=-3, s=-2 e s=0.
Colocar um símbolo de polo (por exemplo, um “×”) em cada um desses pontos: × em -3, × em -2, × em 0.
Colocar símbolos de zero (por exemplo, círculos “o”) nos pontos s=\mathrm{j} e s=-\mathrm{j} sobre o eixo imaginário, a uma unidade acima e abaixo da origem.
Observação: \,-2 e \,-3 estão no semiplano esquerdo (bons para estabilidade), enquanto 0 está exatamente na fronteira (eixo imaginário).
Passo 6
Vamos ver no domínio do tempo por que o polo em s=0 impede a estabilidade assintótica. Faço uma decomposição em frações parciais para expor os termos no tempo:
Interpretação temporal e conclusão sobre estabilidade:
Os termos com e^{-2t} e e^{-3t} decaem para zero quando t\to\infty porque -2 e -3 têm parte real negativa.
O termo \dfrac{1}{6}\,u(t) é constante (não decai), pois vem do polo em s=0 (a transformada inversa de \dfrac{1}{s} é u(t)). Assim, a resposta ao impulso tende para \dfrac{1}{6} quando t\to\infty, ou seja, não tende a zero.
Como a definição de estabilidade assintótica para um sistema causal LTI exige que a resposta ao impulso tenda a zero quando t\to\infty, concluímos que o sistema NÃO é assintoticamente estável. Em palavras gentis: dois polos estão bem à esquerda (bonzinhos), mas o polo na origem arruina o decaimento total — sobrou um offset constante.
Resposta
Polos: \;s=0,\;s=-2,\;s=-3.
O sistema não é assintoticamente estável (há um polo em s=0, que gera um termo constante no impulso e impede o decaimento para zero).