As funções de transferência fornecidas abaixo correspondem a sistemas causais. Para cada sistema, esboce a localização dos polos no plano complexo e determine a estabilidade assintótica do mesmo.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do sistema causal
Pede-se:
- esboçar a localização dos polos no plano complexo;
- determinar a estabilidade assintótica do sistema.
Informações relevantes fornecidas:
- A função de transferência é racional; os polos são as raízes do denominador
. - O sistema é causal (importante porque, para sistemas causais contínuos, a estabilidade assintótica exige que todos os polos tenham parte real negativa).
Passo 2
O que é um polo e por que importa para estabilidade (aula rápida e intuitiva).
- Polo: raiz do denominador da função de transferência; se
é o denominador, polos são soluções de . - Cada polo
gera um modo natural no tempo proporcional a . - Interpretação: a parte real
controla decaimento/crescimento. Se o modo decai (estável), se o modo cresce (instável), se fica oscilando sem decair (marginalmente estável). - Critério prático para sistemas causais contínuos: o sistema é assintoticamente estável se, e somente se, todas as raízes do denominador tiverem
(estiverem no semiplano esquerdo).
Passo 3
Calcular os polos (resolver a equação quadrática).
A equação dos polos é
A equação dos polos é
Usa-se a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Calculemos o discriminante:
Portanto as raízes são
Passo 4
Interpretação geométrica e como esboçar no plano complexo.
- Eixos: eixo horizontal é parte real
, eixo vertical é parte imaginária . - Os polos estão em
e . - No esboço coloca-se dois marcadores (normalmente um “X” para cada polo) nas coordenadas
e . - Observação adicional útil (não necessária para estabilidade, mas boa para contexto): os zeros do numerador
são (ou seja, zeros em e ), se quiser marcar no esboço.
Passo 5
Determinar estabilidade assintótica usando a parte real dos polos.
- Para cada polo
a parte real é . - Como
, cada modo natural tem fator multiplicando uma oscilação, ou seja, cresce exponencialmente no tempo. - Conclusão: o sistema NÃO é assintoticamente estável — ele é instável (modos próprias crescentes).
Resposta
Polos:
(localizados no semiplano direito, em
e
).
Estabilidade: o sistema é instável (não assintoticamente estável).
Estabilidade: o sistema é instável (não assintoticamente estável).