As funções de transferência fornecidas abaixo correspondem a sistemas causais. Para cada sistema, esboce a localização dos polos no plano complexo e determine a estabilidade assintótica do mesmo.
H(s)=\frac{s^{2}+1}{s^{2}-2 s+10}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência do sistema causal
H(s)=\frac{s^{2}+1}{s^{2}-2s+10}
Pede-se:
  • esboçar a localização dos polos no plano complexo;
  • determinar a estabilidade assintótica do sistema.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função de transferência é racional; os polos são as raízes do denominador \,s^{2}-2s+10=0.
  • O sistema é causal (importante porque, para sistemas causais contínuos, a estabilidade assintótica exige que todos os polos tenham parte real negativa).

Passo 2

O que é um polo e por que importa para estabilidade (aula rápida e intuitiva).
  • Polo: raiz do denominador da função de transferência; se D(s) é o denominador, polos são soluções de D(s)=0.
  • Cada polo s_p=\alpha+j\omega gera um modo natural no tempo proporcional a e^{s_p t}=e^{\alpha t}e^{j\omega t}.
  • Interpretação: a parte real \alpha controla decaimento/crescimento. Se \alpha<0 o modo decai (estável), se \alpha>0 o modo cresce (instável), se \alpha=0 fica oscilando sem decair (marginalmente estável).
  • Critério prático para sistemas causais contínuos: o sistema é assintoticamente estável se, e somente se, todas as raízes do denominador tiverem \operatorname{Re}(s)<0 (estiverem no semiplano esquerdo).

Passo 3

Calcular os polos (resolver a equação quadrática).
A equação dos polos é
s^{2}-2s+10=0.
Usa-se a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
s=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}.
Calculemos o discriminante:
(-2)^{2}-4\cdot1\cdot10=4-40=-36.
Portanto as raízes são
s=\frac{2\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{2\pm j6}{2}=1\pm j3.

Passo 4

Interpretação geométrica e como esboçar no plano complexo.
  • Eixos: eixo horizontal é parte real \sigma, eixo vertical é parte imaginária j\omega.
  • Os polos estão em \,s=1+j3 e \,s=1-j3.
  • No esboço coloca-se dois marcadores (normalmente um “X” para cada polo) nas coordenadas (\sigma,\omega)=(1,3) e (1,-3).
  • Observação adicional útil (não necessária para estabilidade, mas boa para contexto): os zeros do numerador \,s^{2}+1=0 são s=\pm j (ou seja, zeros em j1 e -j1), se quiser marcar no esboço.

Passo 5

Determinar estabilidade assintótica usando a parte real dos polos.
  • Para cada polo s_p=1\pm j3 a parte real é \operatorname{Re}(s_p)=1.
  • Como \operatorname{Re}(s_p)=1>0, cada modo natural tem fator e^{1\cdot t} multiplicando uma oscilação, ou seja, cresce exponencialmente no tempo.
  • Conclusão: o sistema NÃO é assintoticamente estável — ele é instável (modos próprias crescentes).

Resposta

Polos: s=1\pm j3 (localizados no semiplano direito, em (1,3) e (1,-3)).
Estabilidade: o sistema é instável (não assintoticamente estável).

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