Considere um poliedro arquimediano mathcal{P}^{\prime} obtido, como no Capítulo 3, aplicando a um poliedro platônico mathcal{P} um dos seguintes procedimentos: Em cada caso, sabendo que mathcal{P} satisfaz a fórmula de Euler, mostre que mathcal{P}^{\prime} também satisfaz a fórmula de Euler.
b) Truncamento.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
O enunciado pede: mostrar que, se \mathcal{P} é um poliedro platônico que satisfaz a fórmula de Euler, então o poliedro truncado \mathcal{P}' também satisfaz a fórmula de Euler. Em símbolos, provar que
V'-E'+F'=2,
onde V',E',F' são, respectivamente, número de vértices, arestas e faces de \mathcal{P}'.
Informações dadas (retiradas do enunciado e das propriedades de um poliedro platônico \mathcal{P}):
\mathcal{P} satisfaz a fórmula de Euler:
V-E+F=2.
Como \mathcal{P} é platônico, todas as faces têm o mesmo número p de arestas e o mesmo número q de faces se encontram em cada vértice. Das relações padrão vale:
pF=2E \quad\text{e}\quad qV=2E,porque cada aresta é contada duas vezes quando somamos os lados de todas as faces (uma vez por cada face que a contém) e também é contada duas vezes quando somamos as incidências aresta–vértice.
O procedimento que vamos usar (sem ainda resolver): analisar como o truncamento altera V,E,F, obter expressões V',E',F' em termos de V,E,F (ou apenas em termos de E,V,F) e então verificar a identidade de Euler para \mathcal{P}'.
Passo 2
O que é truncamento e efeito local nas faces/arestas/vértices (explicado com calma).
Intuição do truncamento: cortar cada vértice de \mathcal{P} por um plano que remove a ponta do vértice e cria uma nova face plana no lugar desse vértice. Fazendo o corte de forma igual em todos os vértices (como se estivessem “aparando todas as pontas”), obtém-se o poliedro truncado \mathcal{P}'.
Efeitos locais que precisamos entender (cada afirmação será justificada nos passos seguintes):
Cada vértice de \mathcal{P} dá origem a uma nova face em \mathcal{P}'. Essa nova face é um polígono com q lados, onde q é o número de arestas (ou faces) que chegam ao vértice original.
Cada face original (um p-gono) transforma-se numa face com 2p lados no poliedro truncado.
Cada aresta original é cortada por dois planos de truncamento (um em cada extremidade), criando dois novos vértices sobre essa aresta; além disso surge um conjunto de novas arestas no poliedro resultante. Precisamos contar quantos vértices e arestas totais surgem a partir das arestas originais.
Exemplos para fixar a intuição (rápidos e concretos):
Tetraedro (p=3,q=3): ao truncar obtém-se o truncado do tetraedro, que tem F'=F+V faces (faces originais truncadas + faces novas vindas dos vértices), V'=2E vértices e E'=3E arestas (veremos a razão disso logo).
Cubo (p=4,q=3): ao truncar, cada quadrado vira um octógono (2p=8) e cada vértice vira um triângulo (q=3). Esses exemplos servem só para visualizar; agora vamos justificar e contar rigorosamente.
Passo 3
Contagem das novas faces F'.
Cada vértice original é substituído por uma nova face (um q-gono). Logo aparecem exatamente V novas faces.
As faces originais permanecem como faces em \mathcal{P}', só que com mais lados (são “truncadas”, mudam de forma mas não desaparecem).
Portanto
F' = F + V.
(uma parcela F são as faces obtidas a partir das faces originais; outra parcela V são as faces criadas nos vértices).
Passo 4
Contagem dos novos vértices V'.
Tome uma aresta qualquer da \mathcal{P}. Ela tem duas extremidades (dois vértices). Ao truncar ambos os vértices, o plano de truncamento em cada extremidade intersecta a aresta em um ponto distinto. Assim cada aresta original produz dois vértices na \mathcal{P}' (um próximo de cada extremidade).
Esses pontos são vértices de \mathcal{P}'. Fazendo isso para todas as E arestas originais, obtemos 2E vértices novos, todos distintos (porque cada interseção está num interior de uma aresta distinta).
Portanto
V' = 2E.
Passo 5
Contagem das novas arestas E' usando contagem por faces (fórmula geral: soma dos lados das faces = 2E').
Estratégia: contar o total de incidências face–aresta em \mathcal{P}'. Sabemos que para qualquer poliedro convexo vale a identidade
\sum_{\text{faces }f} (\text{número de lados de }f) \;=\; 2E'.
Identificamos os dois tipos de faces em \mathcal{P}':
As F faces que vieram das faces originais. Cada face original era um p-gono; após truncamento essa face tem 2p lados. (Intuição: cada aresta original do p-gono contribui com um segmento central que sobrevive, e cada vértice original do p-gono cria um pequeno lado novo entre esses segmentos; total p + p = 2p.)
As V faces que vieram dos vértices, e cada uma é um q-gono (porque q faces/arestas se encontravam no vértice original).
Assim a soma dos números de lados das faces é
\underbrace{F\cdot(2p)}_{\text{faces truncadas}} \;+\; \underbrace{V\cdot q}_{\text{faces dos vértices}}.
Pelo teorema das contagens no poliedro original vale pF=2E (cada aresta da \mathcal{P} conta em duas faces) e qV=2E (cada aresta conta em duas incidências vértice–aresta). Então substituímos: