Quais são os números de vértices, arestas e faces? Verifique que vale a fórmula de Euler.
a) Pirâmide n-agonal.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para uma pirâmide de base n-agonal:
  • Determinar quantos são os vértices, as arestas e as faces (isto é, os números V, E e F).
  • Verificar que vale a fórmula de Euler para poliedros convexos: V - E + F = 2.
Informações dadas (o que temos do enunciado):
  • A base é um polígono com \,n\, lados (um n-gono).
  • Há um único vértice “ápice” fora do plano da base que liga-se a todos os vértices da base (isto é a definição comum de pirâmide).
  • Não há outras arestas ou faces além das da base e das faces laterais triangulares formadas entre o ápice e cada aresta/ vértice da base.

Passo 2

Vamos nomear as quantidades que queremos contar:
  • V = número total de vértices da pirâmide.
  • E = número total de arestas da pirâmide.
  • F = número total de faces da pirâmide.
Estratégia de contagem (rápida explicação): contar separadamente os elementos da base e os elementos que envolvem o ápice e somar. É um jeito simples e à prova de erro — perfeito para prova.

Passo 3

Contagem dos vértices ( V).
  • A base, sendo um n-gono, tem exatamente \,n\, vértices.
  • Além desses \,n\, vértices da base, existe um vértice extra: o ápice da pirâmide (um único).
    Portanto,
V = n + 1.
Exemplo concreto para fixar: se \,n=4\, (pirâmide quadrangular), então V = 4 + 1 = 5.

Passo 4

Contagem das arestas ( E).
  • A base tem \,n\, arestas (um n-gono tem n arestas).
  • Do ápice saem arestas até cada um dos \,n\, vértices da base — ou seja, há mais \,n\, arestas laterais.
    Somando:
E = n + n = 2n.
Exemplo: se \,n=3\, (pirâmide triangular = tetraedro), então E = 2\cdot 3 = 6, que confere com o tetraedro.

Passo 5

Contagem das faces ( F).
  • A base contribui com 1 face (a face poligonal da base).
  • Além disso, há uma face triangular lateral para cada lado do polígono da base, ou seja, \,n\, faces triangulares laterais.
    Portanto,
F = 1 + n = n + 1.
Exemplo: se \,n=4\,, então F = 1 + 4 = 5 (uma base + quatro triângulos laterais).

Passo 6

Agora vamos verificar a fórmula de Euler:
calcular V - E + F usando as expressões que obtivemos.
V - E + F = (n+1) - (2n) + (n+1).
Fazendo as somas e cancelamentos passo a passo:
(n+1) - 2n + (n+1) = n + 1 - 2n + n + 1.
Agrupando termos semelhantes:
(n - 2n + n) + (1 + 1) = 0 + 2 = 2.
Logo,
V - E + F = 2.
Isto mostra que a fórmula de Euler vale para a pirâmide n-agonal para qualquer \,n\ge 3.

Passo 7

Checagem numérica rápida (para ficar seguro e ganhar confiança):
  • Para \,n=3: V=4, E=6, F=4. Então 4 - 6 + 4 = 2.
  • Para \,n=5: V=6, E=10, F=6. Então 6 - 10 + 6 = 2.
    Ambos conferem com a verificação algebrica anterior — ótimo sinal.

Resposta

\,V = n+1,\; E = 2n,\; F = n+1\,
\,V - E + F = 2\,

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