Quais são os números de vértices, arestas e faces? Verifique que vale a fórmula de Euler.
a) Pirâmide n-agonal.
a) Pirâmide n-agonal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para uma pirâmide de base n-agonal:
- Determinar quantos são os vértices, as arestas e as faces (isto é, os números
, e ). - Verificar que vale a fórmula de Euler para poliedros convexos:
.
Informações dadas (o que temos do enunciado):
- A base é um polígono com
lados (um -gono). - Há um único vértice “ápice” fora do plano da base que liga-se a todos os vértices da base (isto é a definição comum de pirâmide).
- Não há outras arestas ou faces além das da base e das faces laterais triangulares formadas entre o ápice e cada aresta/ vértice da base.
Passo 2
Vamos nomear as quantidades que queremos contar:
-
= número total de vértices da pirâmide. -
= número total de arestas da pirâmide. -
= número total de faces da pirâmide.
Estratégia de contagem (rápida explicação): contar separadamente os elementos da base e os elementos que envolvem o ápice e somar. É um jeito simples e à prova de erro — perfeito para prova.
Passo 3
Contagem dos vértices (
).
- A base, sendo um
-gono, tem exatamente vértices. - Além desses
vértices da base, existe um vértice extra: o ápice da pirâmide (um único).
Portanto,
Exemplo concreto para fixar: se
(pirâmide quadrangular), então
.
Passo 4
Contagem das arestas (
).
- A base tem
arestas (um -gono tem arestas). - Do ápice saem arestas até cada um dos
vértices da base — ou seja, há mais arestas laterais.
Somando:
Exemplo: se
(pirâmide triangular = tetraedro), então
, que confere com o tetraedro.
Passo 5
Contagem das faces (
).
- A base contribui com
face (a face poligonal da base). - Além disso, há uma face triangular lateral para cada lado do polígono da base, ou seja,
faces triangulares laterais.
Portanto,
Exemplo: se
, então
(uma base + quatro triângulos laterais).
Passo 6
Agora vamos verificar a fórmula de Euler:
calcular usando as expressões que obtivemos.
calcular
Fazendo as somas e cancelamentos passo a passo:
Agrupando termos semelhantes:
Logo,
Isto mostra que a fórmula de Euler vale para a pirâmide
-agonal para qualquer
.
Passo 7
Checagem numérica rápida (para ficar seguro e ganhar confiança):
- Para
: , , . Então . - Para
: , , . Então .
Ambos conferem com a verificação algebrica anterior — ótimo sinal.