Considere um poliedro arquimediano mathcal{P}^{\prime} obtido, como no Capítulo 3, aplicando a um poliedro platônico mathcal{P} um dos seguintes procedimentos: Em cada caso, sabendo que mathcal{P} satisfaz a fórmula de Euler, mostre que mathcal{P}^{\prime} também satisfaz a fórmula de Euler.
e) Snubficação.

Passo 1

O enunciado dá um poliedro platônico \mathcal{P} que satisfaz a fórmula de Euler e pede para mostrar que o poliedro arquimediano \mathcal{P}' obtido por snubficação de \mathcal{P} também satisfaz a fórmula de Euler.
Informações relevantes que temos (tiradas do enunciado / contexto):
  • \mathcal{P} é um poliedro convexo (platônico) com número de vértices V, arestas E e faces F.
  • \mathcal{P} satisfaz a fórmula de Euler:
V - E + F = 2.
  • A operação considerada é a snubficação (snub), que transforma \mathcal{P} em um novo poliedro arquimediano \mathcal{P}'. Não são fornecidos mais detalhes numéricos — a tarefa é provar, em geral, que a snubficação preserva a validade da fórmula de Euler.

Passo 2

O que é, em termos informais, a snubficação?
Explanação curta e intuitiva (sem depender de figuras): snubficação é uma operação geométrica local que, grosso modo, “corta” cantos e cria muitas faces triangulares novas enquanto modifica um pouco as faces originais (rotacionando/as subdividindo). Importante para a prova: a snubficação pode ser construída por uma sequência de operações elementares e locais que apenas subdividem faces e arestas — isto é, nunca altera a topologia da superfície esférica subjacente e pode ser mostrada como composta de passos cuja variação em V, E e F deixa inalterado V-E+F. A ideia será provar que cada uma dessas operações elementares preserva a característica de Euler; então a composição delas (a snubficação) também preserva.

Passo 3

Operações elementares que preservam a característica de Euler — demonstração e intuição (a “aula” pedida).
Vou apresentar duas operações simples, muito usadas em construções de poliedros, e mostrar que cada uma não altera V-E+F. Essas operações são suficientes para descrever qualquer subdivisão local necessária na snubficação.
Operação A — inserir um vértice no interior de uma face e ligá‑lo a todos os vértices da fronteira daquela face (fan):
  • Seja uma face com k lados (um k-gono).
  • Ao inserir um vértice novo no interior dessa face e ligá‑lo aos k vértices da fronteira, o número de vértices aumenta em \Delta V = 1.
  • Cada uma das k arestas novas é uma aresta que une o novo vértice a um vértice da fronteira, logo o número de arestas aumenta em \Delta E = k.
  • A face original desaparece e é substituída por k faces triangulares, portanto \Delta F = k-1.
    Calculemos a variação do lado esquerdo da fórmula de Euler:
\Delta(V-E+F) = \Delta V - \Delta E + \Delta F = 1 - k + (k-1) = 0.
Portanto a operação A não altera V-E+F.
Operação B — inserir um vértice no meio de uma aresta (dividir uma aresta em duas):
  • Coloca‑se um vértice novo no ponto médio de uma aresta existente.
  • Isso transforma essa uma aresta em duas: \Delta V = 1, \Delta E = 1.
  • As faces adjacentes continuam tendo o mesmo número de regiões totais (só mudam as arestas), logo \Delta F = 0.
    Logo
\Delta(V-E+F) = 1 - 1 + 0 = 0.
Também não altera Euler.
Observação didática e intuitiva: ambas as operações são subdivisões locais: adicionam vértices/arestas/faces de modo que a superfície continua a ser uma esfera topológica sem “buracos”. A invariância de V-E+F nessas operações pode ser vista como consequência do fato de que subdividir uma face em mais faces não muda a característica da superfície.

Passo 4

Argumento de construção: como a snubficação é obtida por uma sequência de operações que preservam V-E+F.
Agora vamos ligar essa invariância com a snubficação. A snubficação, aplicada a um poliedro platônico \mathcal{P}, altera localmente cada vértice e as faces adjacentes: cria pequenas faces triangulares entre arestas, subdivide faces originais e desloca/rotaciona blocos locais para obter a configuração arquimediana. Concretamente (e sem perder generalidade), a snubficação pode ser vista como composta por passos do tipo:
  1. em cada aresta, inserir pontos intermédios (operação B) quando necessário para permitir as novas ligações;
  2. em cada face, inserir vértices centrais ou pontos de subdivisão e ligar de maneira alternada aos pontos em arestas (operação A aplicada às peças apropriadas), de modo a criar os triângulos novos e as faces modificadas;
  3. talvez repetir subdivisões locais e “remontar” os pedaços (sempre usando apenas operações do tipo A e B e recortes/colagens que, topologicamente, são equivalentes a subdivisões).
Cada passo descrito é uma combinação das operações A e B (ou sua inversa bem controlada), e já provamos que ambas mantêm V-E+F. Assim, a composição finita desses passos também mantém V-E+F. Em outras palavras: é possível transformar \mathcal{P} em \mathcal{P}' usando apenas operações que não alteram a característica de Euler; portanto
V' - E' + F' = V - E + F.
Aqui vale reforçar a intuição: a snubficação não cria “buracos” nem altera a topologia da superfície que envolve o poliedro — ela apenas subdivide e reorganiza as faces. A característica de Euler é um invariante topológico da esfera, então qualquer subdivisão ou modificação que preserve a topologia da superfície também preserva V-E+F.

Passo 5

Aplicação direta ao caso: conclusão com base nos passos anteriores.
Dado que \mathcal{P} satisfaz
V - E + F = 2,
e que a snubficação transforma \mathcal{P} em \mathcal{P}' por uma sequência de operações locais (subdivisões de faces e arestas) que não mudam V-E+F, segue imediatamente que
V' - E' + F' = V - E + F = 2.
Consequentemente, \mathcal{P}' também satisfaz a fórmula de Euler.

Resposta

\displaystyle V'-E'+F'=2

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