Considere o polinômio do
grau
, em que
,
e
são reais dados.
a) Verifique que
b) Conclua de a) que, se
, as raízes de
são dadas pela fórmula
c) Sejam
as raízes de
. Verifique que
d) Usando o item a), mostre que a função
atinge seu valor mínimo, ou máximo em
. Calcule tal valor.
a) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá o polinômio de segundo grau
com
e
. Pede-se:
- (a) verificar a identidade
- (b) deduzir, a partir de (a) e supondo
, a fórmula das raízes
- (c) com
e (com ), verificar que
- (d) usando (a), mostrar que
atinge seu extremo em , dizer se é mínimo ou máximo e calcular o valor desse extremo.
As informações relevantes:
,
reais, e
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos verificar a identidade pedida em (a) expandindo o membro direito. Primeiro, note que
é apenas uma abreviação conveniente (chamada discriminante). Agora calcule o conteúdo entre colchetes:
Expanda o quadrado:
Agora subtraia
:
O numerador do último termo é
, então
Multiplicando por
(lembre que
) obtemos
Portanto a identidade
está verificada.
Passo 3
Agora deduzimos as raízes (item b). Igualando o polinômio a zero e usando a forma completada do quadrado:
Como
, dividimos por
e isolamos o quadrado:
Para que haja soluções reais precisamos de
(pois o lado direito deve ser não negativo). Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos (o
vem da raiz):
Subtraindo
em ambos os lados:
Observação sobre o sinal de
: escrever
é válido porque o símbolo
já cobre ambos os sinais; o resultado final é a fórmula padrão das raízes.
Passo 4
Para (c) calculemos a soma
. Somando as duas expressões dadas:
Agora o produto
. Multiplicando:
No numerador aplicamos a diferença de quadrados:
Usando
obtemos
. Assim
Essas duas igualdades são as famosas fórmulas de Viète para quadráticas.
Passo 5
Finalmente (d): usando a forma completada do quadrado do item (a),
A expressão
é sempre maior ou igual a zero para todo
. Portanto:
- Se
, o fator é positivo, e é vezes (algo ) menos a constante . O menor valor ocorre quando a parte ao quadrado é , isto é em . Nesse ponto o valor é
Como
, este é o valor mínimo da função.
- Se
, o fator é negativo, então atinge um valor máximo quando a parte ao quadrado é (porque multiplicar um quadrado não negativo por um dá um número , e subtrair a constante dá o máximo). Novamente o ponto é e o valor extremo é
Portanto, em qualquer caso a função tem seu extremo em
; se
é mínimo, se
é máximo, e o valor do extremo é
. Observação alternativa de forma equivalente:
pois
.
Resposta
a)
.
b) (para
).
c) e
.
d) Extremo em ; é mínimo se
e máximo se
; valor do extremo
.
b)
c)
d) Extremo em