Considere o polinômio do 2^{\mathrm{o}} grau a x^{2}+b x+c, em que a \neq 0, b e c são reais dados.
a) Verifique que
a x^{2}+b x+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4 a^{2}}\right], \quad \text { em que } \Delta=b^{2}-4 a c .
b) Conclua de a) que, se \Delta \geq 0, as raízes de a x^{2}+b x+c são dadas pela fórmula
x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}
c) Sejam
x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} \quad \text { e } \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a} \quad(\Delta \geq 0)
as raízes de a x^{2}+b x+c. Verifique que
x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a} \quad \text { e } \quad x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}
d) Usando o item a), mostre que a função f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0) atinge seu valor mínimo, ou máximo em x=\frac{-b}{2 a}. Calcule tal valor.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio de segundo grau a x^{2}+b x+c com a\neq0 e b,c\in\mathbb{R}. Pede-se:
  • (a) verificar a identidade
a x^{2}+b x+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4 a^{2}}\right],\qquad \Delta=b^{2}-4 a c.
  • (b) deduzir, a partir de (a) e supondo \Delta\ge0, a fórmula das raízes
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
  • (c) com x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} e x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} (com \Delta\ge0), verificar que
x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}\quad\text{e}\quad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}.
  • (d) usando (a), mostrar que f(x)=a x^{2}+b x+c atinge seu extremo em x=-\dfrac{b}{2a}, dizer se é mínimo ou máximo e calcular o valor desse extremo.
As informações relevantes: a\neq0, b,c reais, e \Delta=b^{2}-4ac. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos verificar a identidade pedida em (a) expandindo o membro direito. Primeiro, note que \Delta=b^{2}-4ac é apenas uma abreviação conveniente (chamada discriminante). Agora calcule o conteúdo entre colchetes:
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}.
Expanda o quadrado:
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}.
Agora subtraia \dfrac{\Delta}{4a^{2}}=\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}:
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} = x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}.
O numerador do último termo é b^{2}-(b^{2}-4ac)=4ac, então
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{4ac}{4a^{2}}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}.
Multiplicando por a (lembre que a\neq0) obtemos
a\left(\text{expressão anterior}\right)=a x^{2}+b x+c.ã
Portanto a identidade
a x^{2}+b x+c=a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4 a^{2}}\right]
está verificada.

Passo 3

Agora deduzimos as raízes (item b). Igualando o polinômio a zero e usando a forma completada do quadrado:
a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4 a^{2}}\right]=0.
Como a\neq0, dividimos por a e isolamos o quadrado:
\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{\Delta}{4 a^{2}}.
Para que haja soluções reais precisamos de \Delta\ge0 (pois o lado direito deve ser não negativo). Tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos (o \pm vem da raiz):
x+\frac{b}{2 a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}.
Subtraindo \dfrac{b}{2a} em ambos os lados:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Observação sobre o sinal de a: escrever \pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a} é válido porque o símbolo \pm já cobre ambos os sinais; o resultado final é a fórmula padrão das raízes.

Passo 4

Para (c) calculemos a soma x_{1}+x_{2}. Somando as duas expressões dadas:
x_{1}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}.
Agora o produto x_{1}x_{2}. Multiplicando:
x_{1}x_{2}=\frac{(-b+\sqrt{\Delta})(-b-\sqrt{\Delta})}{4a^{2}}.
No numerador aplicamos a diferença de quadrados:
(-b+\sqrt{\Delta})(-b-\sqrt{\Delta})=(-b)^{2}-(\sqrt{\Delta})^{2}=b^{2}-\Delta.
Usando \Delta=b^{2}-4ac obtemos b^{2}-\Delta=b^{2}-(b^{2}-4ac)=4ac. Assim
x_{1}x_{2}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}.
Essas duas igualdades são as famosas fórmulas de Viète para quadráticas.

Passo 5

Finalmente (d): usando a forma completada do quadrado do item (a),
f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4 a^{2}}\right].
A expressão \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2} é sempre maior ou igual a zero para todo x. Portanto:
  • Se a>0, o fator a é positivo, e f(x) é a vezes (algo \ge0) menos a constante a\cdot\dfrac{\Delta}{4a^{2}}. O menor valor ocorre quando a parte ao quadrado é 0, isto é em x=-\dfrac{b}{2a}. Nesse ponto o valor é
f\Big(-\frac{b}{2a}\Big)=a\left(0-\frac{\Delta}{4a^{2}}\right)=-\frac{\Delta}{4a}.
Como a>0, este é o valor mínimo da função.
  • Se a<0, o fator a é negativo, então f(x) atinge um valor máximo quando a parte ao quadrado é 0 (porque multiplicar um quadrado não negativo por um a<0 dá um número \le0, e subtrair a constante dá o máximo). Novamente o ponto é x=-\dfrac{b}{2a} e o valor extremo é
f\Big(-\frac{b}{2a}\Big)=-\frac{\Delta}{4a}.
Portanto, em qualquer caso a função tem seu extremo em x=-\dfrac{b}{2a}; se a>0 é mínimo, se a<0 é máximo, e o valor do extremo é -\dfrac{\Delta}{4a}. Observação alternativa de forma equivalente:
f\Big(-\frac{b}{2a}\Big)=c-\frac{b^{2}}{4a},
pois -\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}=c-\dfrac{b^{2}}{4a}.

Resposta

a) a x^{2}+b x+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a^{2}}\right],\\ \Delta=b^{2}-4ac.
b) x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} (para \Delta\ge0).
c) x_{1}+x_{2}=\dfrac{-b}{a} e x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}.
d) Extremo em x=-\dfrac{b}{2a}; é mínimo se a>0 e máximo se a<0; valor do extremo f\big(-\dfrac{b}{2a}\big)=-\dfrac{\Delta}{4a}=c-\dfrac{b^{2}}{4a}.

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