Um número natural n é um número par quando n=2 k, onde k \in \mathbb{N} e ímpar quando n=2 k+1, com k \in \mathbb{N}.
a) Mostre que a soma de funções ímpares é ímpar e que a soma de funções pares é par.
b) Considere a função polinomial dada por f(x)=x^{n} com n \in \mathbb{N}. Mostre que se n é par então f(x) é uma função par e que se n é ímpar f(x) é uma função ímpar.
c) Usando os itens a) e b, mostre que toda função polinomial pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede três coisas separadas:
  • (a) Mostrar que a soma de funções ímpares é ímpar e que a soma de funções pares é par.
  • (b) Para f(x)=x^{n} com n\in\mathbb{N}: mostrar que, se n é par então f é par; se n é ímpar então f é ímpar.
  • (c) Usando (a) e (b), mostrar que qualquer polinômio pode ser escrito como soma de uma função par e uma função ímpar.
Informações e definições que vamos usar (essas são as ferramentas do problema):
  • A definição de número par/ímpar para naturais: um n\in\mathbb{N} é par quando existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k; é ímpar quando existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k+1.
  • Definição de função par: uma função f é par se, para todo x no domínio de f, vale \,f(-x)=f(x).
  • Definição de função ímpar: uma função f é ímpar se, para todo x no domínio de f, vale \,f(-x)=-f(x).
  • A propriedade básica de potências: para todo real x e inteiro m\ge0, (-x)^m = (-1)^m x^m. Em particular, se m é par então (-1)^m=1 e se m é ímpar então (-1)^m=-1.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Prova de que a soma de duas funções ímpares é ímpar (essa prova generaliza facilmente para soma finita).
Sejam f e g funções ímpares com o mesmo domínio. Pela definição de ímpar:
f(-x)=-f(x)\quad\text{e}\quad g(-x)=-g(x)\quad\text{para todo }x.
Considere a soma h(x)=f(x)+g(x). Avaliando h em -x e usando linearidade da soma:
h(-x)=f(-x)+g(-x).
Substituindo as identidades de ímpar:
h(-x)=\bigl(-f(x)\bigr)+\bigl(-g(x)\bigr)=-\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=-h(x).
Portanto h(-x)=-h(x) para todo x, logo h é ímpar. Conclusão: a soma de duas funções ímpares é ímpar; por indução a soma de qualquer número finito de funções ímpares também é ímpar.

Passo 3

Prova de que a soma de duas funções pares é par (e, por extensão, de soma finita).
Sejam f e g funções pares: f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x) para todo x. Defina h(x)=f(x)+g(x). Então
h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x).
Assim h satisfaz h(-x)=h(x) para todo x, isto é, h é par. Conclusão: soma de funções pares é par; mesma ideia vale para soma finita.

Passo 4

Mostrando (b): analisar f(x)=x^{n} conforme a paridade de n.
Use a propriedade das potências indicada em Passo 1:
(-x)^{n}=(-1)^{n}x^{n}.
  • Se n é par, então existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k. Então (-1)^{n}=(-1)^{2k}=1, portanto
(-x)^{n}=1\cdot x^{n}=x^{n}.
Isto significa f(-x)=f(x) para todo x, logo f é par quando n é par.
  • Se n é ímpar, então existe k\in\mathbb{N} tal que n=2k+1. Então (-1)^{n}=(-1)^{2k+1}=-1, portanto
(-x)^{n}=-1\cdot x^{n}=-x^{n}.
Isto significa f(-x)=-f(x) para todo x, logo f é ímpar quando n é ímpar.
Exemplos rápidos para fixar: \,x^{2} é par porque (-x)^{2}=x^{2}; \,x^{3} é ímpar porque (-x)^{3}=-x^{3}.

Passo 5

Preparação para (c): escrever um polinômio e separar termos de par e ímpar.
Considere um polinômio genérico
P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n},
com coeficientes a_{k}\in\mathbb{R}. Vamos separar os termos de potências pares e ímpares:
P_{\text{par}}(x)=\sum_{k\\ \text{tal que}\\\ 2k\le n} a_{2k}x^{2k}, \qquad P_{\text{ímpar}}(x)=\sum_{k\\ \text{tal que}\\\ 2k+1\le n} a_{2k+1}x^{2k+1}.í
Claramente P(x)=P_{\text{par}}(x)+P_{\text{ímpar}}(x)í. Pelas conclusões do Passo 4, cada monômio x^{2k} é função par e cada monômio x^{2k+1} é função ímpar. Pelos Passos 2 e 3, soma de monômios pares é par e soma de monômios ímpares é ímpar. Portanto P_{\text{par}} é uma função par e P_{\text{ímpar}}í é uma função ímpar, e sua soma dá o polinômio original.

Passo 6

Apresentar as fórmulas práticas (úteis em prova) para decompor qualquer função (em especial polinômio) em parte par e ímpar.
Para qualquer função F cujo domínio seja simétrico (isto é, se x está no domínio então -x também está), define-se as partes
F_{\text{par}}(x)=\frac{F(x)+F(-x)}{2}, \qquad F_{\text{ímpar}}(x)=\frac{F(x)-F(-x)}{2}.í
Verificação direta:
  • F_{\text{par}}(-x)=\dfrac{F(-x)+F(x)}{2}=F_{\text{par}}(x), logo é par.
  • F_{\text{ímpar}}(-x)=\dfrac{F(-x)-F(x)}{2}=-\dfrac{F(x)-F(-x)}{2}=-F_{\text{ímpar}}(x)íí, logo é ímpar.
  • Soma: F_{\text{par}}(x)+F_{\text{ímpar}}(x)=\dfrac{F(x)+F(-x)}{2}+\dfrac{F(x)-F(-x)}{2}=F(x)í.
No caso de polinômio P, essas fórmulas coincidem com a separação por potências pares e ímpares dada no Passo 5; portanto a decomposição é efetiva e prática para provas.

Passo 7

Resumo final e exemplo numérico rápido para clarear.
  • Resumo: qualquer polinômio P se escreve unicamente como P=P_{\text{par}}+P_{\text{ímpar}}í, onde P_{\text{par}} é soma dos termos com potências pares e P_{\text{ímpar}}í é soma dos termos com potências ímpares; cada um tem a propriedade de paridade correspondente.
  • Exemplo rápido: para P(x)=3-2x+5x^{2}+x^{3},
P_{\text{par}}(x)=3+5x^{2},\qquad P_{\text{ímpar}}(x)=-2x+x^{3},í
confirmando P=P_{\text{par}}+P_{\text{ímpar}}í.
Força aí — você já tem as ideias e as fórmulas que normalmente caem na prova: separar termos pares/ímparos ou usar \dfrac{P(x)\pm P(-x)}{2}.

Resposta

(a) A soma de funções ímpares é ímpar; a soma de funções pares é par.
(b) Se n é par então f(x)=x^{n} é par; se n é ímpar então f(x)=x^{n} é ímpar.
(c) Todo polinômio pode ser escrito como soma de uma função par e uma função ímpar (separando termos de potências pares e ímpares ou usando \dfrac{P(x)\pm P(-x)}{2}).

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