Um número natural
é um número par quando
, onde
e ímpar quando
, com
.
a) Mostre que a soma de funções ímpares é ímpar e que a soma de funções pares é par.
b) Considere a função polinomial dada por
com
. Mostre que se
é par então
é uma função par e que se
é ímpar
é uma função ímpar.
c) Usando os itens a) e b, mostre que toda função polinomial pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.
a) Mostre que a soma de funções ímpares é ímpar e que a soma de funções pares é par.
b) Considere a função polinomial dada por
c) Usando os itens a) e b, mostre que toda função polinomial pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.
Passo 1
O enunciado pede três coisas separadas:
- (a) Mostrar que a soma de funções ímpares é ímpar e que a soma de funções pares é par.
- (b) Para
com : mostrar que, se é par então é par; se é ímpar então é ímpar. - (c) Usando (a) e (b), mostrar que qualquer polinômio pode ser escrito como soma de uma função par e uma função ímpar.
Informações e definições que vamos usar (essas são as ferramentas do problema):
- A definição de número par/ímpar para naturais: um
é par quando existe tal que ; é ímpar quando existe tal que . - Definição de função par: uma função
é par se, para todo no domínio de , vale . - Definição de função ímpar: uma função
é ímpar se, para todo no domínio de , vale . - A propriedade básica de potências: para todo real
e inteiro , . Em particular, se é par então e se é ímpar então .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Prova de que a soma de duas funções ímpares é ímpar (essa prova generaliza facilmente para soma finita).
Sejam e
funções ímpares com o mesmo domínio. Pela definição de ímpar:
Sejam
Considere a soma
. Avaliando
em
e usando linearidade da soma:
Substituindo as identidades de ímpar:
Portanto
para todo
, logo
é ímpar. Conclusão: a soma de duas funções ímpares é ímpar; por indução a soma de qualquer número finito de funções ímpares também é ímpar.
Passo 3
Prova de que a soma de duas funções pares é par (e, por extensão, de soma finita).
Sejam e
funções pares:
e
para todo
. Defina
. Então
Sejam
Assim
satisfaz
para todo
, isto é,
é par. Conclusão: soma de funções pares é par; mesma ideia vale para soma finita.
Passo 4
Mostrando (b): analisar
conforme a paridade de
.
Use a propriedade das potências indicada em Passo 1:
Use a propriedade das potências indicada em Passo 1:
- Se
é par, então existe tal que . Então , portanto
Isto significa
para todo
, logo
é par quando
é par.
- Se
é ímpar, então existe tal que . Então , portanto
Isto significa
para todo
, logo
é ímpar quando
é ímpar.
Exemplos rápidos para fixar:
é par porque
;
é ímpar porque
.
Passo 5
Preparação para (c): escrever um polinômio e separar termos de par e ímpar.
Considere um polinômio genérico
Considere um polinômio genérico
com coeficientes
. Vamos separar os termos de potências pares e ímpares:
Claramente
. Pelas conclusões do Passo 4, cada monômio
é função par e cada monômio
é função ímpar. Pelos Passos 2 e 3, soma de monômios pares é par e soma de monômios ímpares é ímpar. Portanto
é uma função par e
é uma função ímpar, e sua soma dá o polinômio original.
Passo 6
Apresentar as fórmulas práticas (úteis em prova) para decompor qualquer função (em especial polinômio) em parte par e ímpar.
Para qualquer função cujo domínio seja simétrico (isto é, se
está no domínio então
também está), define-se as partes
Para qualquer função
Verificação direta:
-
, logo é par. -
, logo é ímpar. - Soma:
.
No caso de polinômio
, essas fórmulas coincidem com a separação por potências pares e ímpares dada no Passo 5; portanto a decomposição é efetiva e prática para provas.
Passo 7
Resumo final e exemplo numérico rápido para clarear.
- Resumo: qualquer polinômio
se escreve unicamente como , onde é soma dos termos com potências pares e é soma dos termos com potências ímpares; cada um tem a propriedade de paridade correspondente. - Exemplo rápido: para
,
confirmando
.
Força aí — você já tem as ideias e as fórmulas que normalmente caem na prova: separar termos pares/ímparos ou usar
.
Resposta
(a) A soma de funções ímpares é ímpar; a soma de funções pares é par.
(b) Se é par então
é par; se
é ímpar então
é ímpar.
(c) Todo polinômio pode ser escrito como soma de uma função par e uma função ímpar (separando termos de potências pares e ímpares ou usando ).
(b) Se
(c) Todo polinômio pode ser escrito como soma de uma função par e uma função ímpar (separando termos de potências pares e ímpares ou usando