Considere que as probabilidades relacionadas aos eventos G : ‘gostar da disciplina MP’ e A: ‘gostar da disciplina AED’.
Sejam \mathrm{P}(\mathrm{G})=1 / 4 ; \mathrm{P}(\mathrm{A} / \mathrm{G})=1 / 2 e \mathrm{P}(\mathrm{G} / \mathrm{A})=1 / 4. Responda:
a) Os eventos G e A são mutuamente exclusivos? Justifique.
b) Os eventos G e A são independentes? Justifique.
c) Calcule a probabilidade de não gostar de MP dado que gosta de AED.
d) Calcule a probabilidade de não gostar de MP e não gostar de EAD.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido) e pede quatro perguntas:
Dados:
\mathrm{P}(\mathrm{G})=\dfrac{1}{4} ; \mathrm{P}(\mathrm{A}\mid \mathrm{G})=\dfrac{1}{2} e \mathrm{P}(\mathrm{G}\mid \mathrm{A})=\dfrac{1}{4}.
Perguntas:
(a) Os eventos \mathrm{G} e \mathrm{A} são mutuamente exclusivos? Justifique.
(b) Os eventos \mathrm{G} e \mathrm{A} são independentes? Justifique.
(c) Calcule a probabilidade de não gostar de MP dado que gosta de AED, isto é \mathrm{P}(\mathrm{G}^c\mid \mathrm{A}).
(d) Calcule a probabilidade de não gostar de MP e não gostar de AED, isto é \mathrm{P}(\mathrm{G}^c\cap \mathrm{A}^c).

Passo 2

Primeiro, vou calcular \mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A}) porque é útil para as perguntas (a) e (b). Uso a definição de probabilidade condicional:
\mathrm{P}(\mathrm{A}\mid \mathrm{G})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{G})}{\mathrm{P}(\mathrm{G})}.
Isolando \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{G}) obtemos:
\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{G})=\mathrm{P}(\mathrm{A}\mid \mathrm{G})\cdot \mathrm{P}(\mathrm{G}).
Substituindo os números dados:
\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{G})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}.
Logo \mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A})=\dfrac{1}{8}.

Passo 3

(a) Definição: dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente, isto é quando \mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A})=0. Como calculamos no passo anterior \mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A})=\dfrac{1}{8}>0, os eventos podem ocorrer juntos. Portanto, \mathrm{G} e \mathrm{A} NÃO são mutuamente exclusivos. (Justificativa: \mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A})\neq 0.)

Passo 4

Para responder (b) preciso do valor de \mathrm{P}(\mathrm{A}). Uso a outra relação de probabilidade condicional dada:
\mathrm{P}(\mathrm{G}\mid \mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}.
Isolando \mathrm{P}(\mathrm{A}),
\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A})}{\mathrm{P}(\mathrm{G}\mid \mathrm{A})}.
Substituindo \mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A})=\dfrac{1}{8} e \mathrm{P}(\mathrm{G}\mid \mathrm{A})=\dfrac{1}{4},
\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{\tfrac{1}{8}}{\tfrac{1}{4}}=\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{1}=\frac{1}{2}.

Passo 5

(b) Definição: eventos \mathrm{G} e \mathrm{A} são independentes se uma ocorrência não afeta a probabilidade da outra. Em termos de fórmulas uma condição equivalente é
\mathrm{P}(\mathrm{A}\mid \mathrm{G})=\mathrm{P}(\mathrm{A}),
ou equivalentemente
\mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A})=\mathrm{P}(\mathrm{G})\cdot \mathrm{P}(\mathrm{A}).
Comparo os valores que tenho: \mathrm{P}(\mathrm{A}\mid \mathrm{G})=\dfrac{1}{2} e \mathrm{P}(\mathrm{A})=\dfrac{1}{2}, são iguais. Também \mathrm{P}(\mathrm{G}\mid \mathrm{A})=\dfrac{1}{4} e \mathrm{P}(\mathrm{G})=\dfrac{1}{4}, são iguais. Verifico a multiplicação:
\mathrm{P}(\mathrm{G})\cdot \mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A}).
Portanto as condições de independência são satisfeitas. Conclusão: \mathrm{G} e \mathrm{A} SÃO independentes. (Justificativa: as igualdades acima.)

Passo 6

(c) Queremos \mathrm{P}(\mathrm{G}^c\mid \mathrm{A}). Pela regra do complemento dentro de uma condição:
\mathrm{P}(\mathrm{G}^c\mid \mathrm{A})=1-\mathrm{P}(\mathrm{G}\mid \mathrm{A}).
Substituindo \mathrm{P}(\mathrm{G}\mid \mathrm{A})=\dfrac{1}{4},
\mathrm{P}(\mathrm{G}^c\mid \mathrm{A})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Passo 7

(d) Queremos \mathrm{P}(\mathrm{G}^c\cap \mathrm{A}^c). Uma forma direta é usar o complemento da união:
\mathrm{P}(\mathrm{G}^c\cap \mathrm{A}^c)=1-\mathrm{P}(\mathrm{G}\cup \mathrm{A}).
E \mathrm{P}(\mathrm{G}\cup \mathrm{A})=\mathrm{P}(\mathrm{G})+\mathrm{P}(\mathrm{A})-\mathrm{P}(\mathrm{G}\cap \mathrm{A}). Substituindo os valores:
\mathrm{P}(\mathrm{G}\cup \mathrm{A})=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{2}{8}+\frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}.
Portanto
\mathrm{P}(\mathrm{G}^c\cap \mathrm{A}^c)=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}.
Como checagem (porque já sabemos que \mathrm{G} e \mathrm{A} são independentes) podemos também calcular
\mathrm{P}(\mathrm{G}^c\cap \mathrm{A}^c)=(1-\mathrm{P}(\mathrm{G}))\cdot(1-\mathrm{P}(\mathrm{A}))=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8},
confirmações coincidem.

Resposta

(a) Não.
(b) Sim.
(c) \dfrac{3}{4}
(d) \dfrac{3}{8}

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