Considere o problema de valor inicial
4 y^prime prime+4 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=b
Resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
4 y'' + 4 y' + y = 0
E as condições iniciais são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = b $.
Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Isso significa que a equação tem soluções que são combinações de funções exponenciais. Vamos precisar encontrar as raízes da equação característica para descobrir a forma da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
a y'' + b y' + c y = 0
A equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, $ a = 4 $, $ b = 4 $ e $ c = 1 $. Então, a equação fica:
a = 4

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Substituindo os valores:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, a equação tem uma raiz real repetida, $ r = -\frac{1}{2} $.

Passo 4

Quando temos raízes reais e iguais na equação característica, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^r t
Substituindo $ r = -\frac{1}{2} $:
r = -12

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, usemos $ y(0) = 1 $:
C1
Então, $ C_1 = 1 $.

Passo 6

Next, precisamos encontrar $ y’(t) $ para aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = b $. Vamos derivar $ y(t) $:
y'(t)
Usando a regra do produto:
y'(0) = b
Simplificando:
y(t)
Agora, avaliamos em $ t = 0 $:
y(t) = (1 + C2 t) e^-12 t
Resolvendo para $ C_2 $:
y'(t) = C2 e^-12 t + (1 + C2 t) ( -12 e^-12 t )

Resposta

Então, a solução do problema de valor inicial é:
y(t) = (1 + (b + 12) t ) e^-12 t

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