Considere o problema de valor inicial
Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = b $.
Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Isso significa que a equação tem soluções que são combinações de funções exponenciais. Vamos precisar encontrar as raízes da equação característica para descobrir a forma da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, $ a = 4 $, $ b = 4 $ e $ c = 1 $. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, a equação tem uma raiz real repetida, $ r = -\frac{1}{2} $.
Passo 4
Quando temos raízes reais e iguais na equação característica, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo $ r = -\frac{1}{2} $:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, usemos $ y(0) = 1 $:
Então, $ C_1 = 1 $.
Passo 6
Next, precisamos encontrar $ y’(t) $ para aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = b $. Vamos derivar $ y(t) $:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Agora, avaliamos em $ t = 0 $:
Resolvendo para $ C_2 $:
Resposta
Então, a solução do problema de valor inicial é: