Calcule as seguintes integrais:
(0,75 ponto) integral x^3 e^-2 x^4 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral integral x^3e^-2x^4,dx. O conteúdo é integração por substituição, pois dentro do expoente aparece x^4 e fora temos x^3dx, o que combina direitinho para aplicar a técnica.

Passo 2

Escolha da substituição: seja u = x^4. Assim, quando derivamos, temos du = 4x^3dx, ou seja, x^3dx = tfrac14,du.

Passo 3

Transformação da integral: substituindo u e du na integral original, ficamos com
integral x^3e^-2x^4,dx = integral e^-2u cdot tfrac14,du = tfrac14integral e^-2u,du

Passo 4

Cálculo da integral em u: sabemos que
integral e^-2u,du = -tfrac12e^-2u + C
porque a derivada de -2u é -2), e o fator -1/2) corrige isso.

Passo 5

Retornando a variável original: multiplicando pelo 1/4 que estava fora,
tfrac14 l(-tfrac12e^-2ur) + C = -tfrac18e^-2u + C
Agora basta substituir u = x^4 de volta.

Passo 6

Assim chegamos à antiderivada da integral dada.

Resposta

-tfrac18e^-2x^4 + C

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