Considere os problemas de otimização linear a seguir:
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
sujeito a
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
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Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) resolver graficamente o problema de otimização linear dado, se for possível; (ii) dizer se a solução, quando existir, é única, múltipla ou ilimitada. Os dados do problema são: a função objetivo e as restrições
sujeito a
Listei todas as desigualdades e a função objetivo; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos transformar cada desigualdade em sua reta correspondente (caso de igualdade) para poder desenhar o gráfico e identificar a região factível. Para cada reta eu calculo os interceptos com os eixos, porque isso facilita desenhar à mão num papel:
- Para
: intercepto em dá ; intercepto em dá . - Para
: intercepto em dá ; intercepto em dá . - Para
: intercepto em dá ; intercepto em dá . - Para
: intercepto em dá ; intercepto em dá .
A regra do gráfico: a região factível é o conjunto de pontos com
,
que satisfazem todas as desigualdades (ou seja, ficam “abaixo” de cada uma das retas, porque todas são do tipo
). Observação útil: na origem dos eixos (quando
ou
) a restrição mais restritiva (a que dá o menor valor) geralmente “domina” — isso nos dá uma ideia de qual reta limita o conjunto perto dos eixos.
Passo 3
Compare os interceptos nas bordas dos eixos para ver qual desigualdade é a mais restritiva perto do eixo:
-
Em
temos os valores máximos permitidos de : O menor é(da reta ). Logo, na interseção com o eixo a restrição é a mais forte. -
Em
temos os valores máximos permitidos de : O menor é(novamente da reta ). Logo, na interseção com o eixo a restrição é a mais forte.
Conclusão intuitiva: perto dos eixos a reta
(vou chamá-la de
) é a que “fecha” a região mais perto da origem. Precisamos verificar se
também é a restrição dominante para pontos entre esses interceptos (isto é, para
entre
e
).
Passo 4
Para ter certeza que a região factível é realmente limitada por
entre os eixos, comparo
dado por
com
dado pelas outras retas para um mesmo
. A expressão de
é
Comparo com as demais expressões:
Faço as desigualdades (exemplo) para
:
Todas essas desigualdades são verdadeiras em particular para todo
. Assim, no intervalo entre os interceptos com os eixos,
produz valores de
menores ou iguais aos das outras retas; logo
efetivamente é a restrição que define a fronteira superior da região factível naquele trecho. Portanto a região factível é o triângulo formado por:
- o ponto
(origem), - o ponto
(interseção de com o eixo ), - o ponto
(interseção de com o eixo ).
Passo 5
Verificação extra: calculei as interseções de
Multiplicando a primeira por
, logo
. Igual para as interseções com
e
: todas resultaram em
. Isso confirma que as interseções entre
e as outras retas ficam fora do primeiro quadrante, então dentro do primeiro quadrante a fronteira é realmente o segmento
(mais os eixos formando o triângulo
).]
Passo 6
Agora aplico a propriedade fundamental da programação linear (explicada didaticamente): quando a região factível é poligonal e a função objetivo é linear, o máximo (ou mínimo) ocorre em algum vértice (ponto extremo) do polígono factível. Aqui os vértices são:
Calculo o valor da função objetivo
em cada vértice:
- Em
: - Em
: - Em
:
Portanto o maior valor é
, alcançado em
.
Passo 7
Motivo da unicidade: a função objetivo é linear e, ao restringi-la ao segmento
(o segmento da reta
entre os eixos) ela é uma função afim de
. Parametrizando o segmento por
com
, temos
e
Isto é uma função estritamente crescente em
, portanto no segmento
o máximo ocorre apenas em
, isto é, em
. Nos outros dois segmentos da fronteira (entre
e
e entre
e
) também o máximo ocorre em
. Logo a solução ótima é única.
Resposta
Solução ótima:
com
.
Tipo: solução única.
Tipo: solução única.