Considere os problemas de otimização linear a seguir:
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
irrestrita
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
Passo 1
Enunciado e o que se pede (resumido, com todas as informações relevantes):
Além disso,
é irrestrito (pode assumir valores positivos ou negativos).
As tarefas pedidas são: (i) resolver graficamente, se possível, e (ii) dizer se a solução, quando existir, é única, múltipla ou ilimitada.
As tarefas pedidas são: (i) resolver graficamente, se possível, e (ii) dizer se a solução, quando existir, é única, múltipla ou ilimitada.
Passo 2
Transformar as desigualdades em formas explícitas (para desenhar as retas e decidir qual semiplano vale) e escrever as equações das retas correspondentes.
Primeira restrição:
Resolver para
:
Para a desigualdade, testamos um ponto simples (por exemplo
):
logo o semiplano permitido é aquele contendo
. Escrevemos então a forma útil:
Segunda restrição:
Dividindo por
:
A reta correspondente é
Testando
obtemos
falso, então o semiplano permitido é o oposto de onde está
. Em forma útil:
Terceira restrição:
ou seja, estamos restritos ao semiplano à esquerda do eixo vertical.
Resumo das formas para desenhar:
Passo 3
Determinar interseções relevantes entre as retas (as fronteiras das desigualdades) — pontos que podem ser vértices da região viável.
Interseção entre as duas retas:
Multiplicando por
:
Isso dá
, e
. Como temos a restrição
, essa interseção não pertence ao semiplano
e, portanto, não é vértice da região viável.
Interseção de cada reta com
:
- Com
na primeira reta: . Ponto . - Com
na segunda reta: . Ponto .
Verificações de admissibilidade:
-
falha na segunda restrição (pois é falso), então não é viável. -
satisfaz a primeira restrição (verifique: ), e satisfaz . Portanto é viável.
Passo 4
Determinar qual das duas desigualdades em
é a mais restritiva quando
. Isso simplifica a descrição da região viável.
Defina
Calcule a diferença:
Para
temos
, então
Portanto
sempre que
. Isso significa que, no semiplano
, a segunda reta
está sempre abaixo da primeira. Como ambas desigualdades exigem
menor ou igual às retas, a desigualdade
é a mais restritiva (implica automaticamente a primeira para
). Concluímos que a região viável é
Geometricamente: semiplano à esquerda do eixo
e abaixo da reta
. Essa região é não vazia (por exemplo
pertence) e é ilimitada rumo a
e também ilimitada para
ao longo de pontos que satisfazem
.
Passo 5
Analisar o objetivo e verificar se existe máximo finito. Vamos entender como as retas de nível da função objetivo se comportam.
Nível da função objetivo para um valor
é dado por
Esta é uma família de retas de inclinação
; variar
desloca a reta verticalmente (o termo
determina o intercepto). Para aumentar
(buscar valores maiores), o intercepto
fica mais negativo, ou seja, a reta de nível desloca-se para baixo.
A região viável permite
arbitrariamente negativos (pois apenas há uma condição superior
algo finito). Assim, ao deslocar a reta de nível para baixo podemos sempre encontrar pontos viáveis com valores de
maiores: não há um limite superior finito para
.
Passo 6
Dar um exemplo construtivo que mostra que
pode crescer sem limite (prova por construção).
Considere pontos com
e
com
. Verificações:
-
satisfaz a terceira restrição. - Segunda restrição:
, então esses pontos satisfazem a segunda restrição para qualquer . - Primeira restrição também é satisfeita:
.
O valor objetivo nesses pontos é
Escolhendo
arbitrariamente grande,
cresce sem limite. Logo o problema não tem máximo finito: a função objetivo é ilimitada acima na região viável.
Resposta
Problema ilimitado superiormente: não existe máximo finito (o valor ótimo é
).