Considere os problemas de otimização linear a seguir:
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
\quad \max \quad z=5 x_{1}+6 x_{2}
\begin{array}{ccc} \text { suj. a } & 2 x_{1}+3 x_{2} & \leq 18 \\\ & 2 x_{1}+x_{2} & \leq 12 \\\ & 3 x_{1}+3 x_{2} & \leq 24 \\\ & x_{1} \geq 0 & \\\ & x_{2} \leq 0 & \end{array}

Passo 1

O enunciado pede:
  • (i) Resolver graficamente, se for possível, o problema de otimização linear
\max\; z = 5x_{1}+6x_{2}
sujeito a
\begin{array}{rcl} 2x_{1}+3x_{2} & \le & 18,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2} & \le & 12,\\[4pt] 3x_{1}+3x_{2} & \le & 24,\\[4pt] x_{1} & \ge & 0,\\[4pt] x_{2} & \le & 0. \end{array}
  • (ii) Indicar, em cada caso, se a solução (quando existir) é única, múltipla ou ilimitada.
Informações dadas:
  • Função objetivo z=5x_{1}+6x_{2}.
  • Três desigualdades lineares e duas restrições de sinal: x_{1}\ge 0 e x_{2}\le 0.
  • Observação útil: a região factível está no semi-plano onde x_{1} é não negativo e x_{2} é não positivo.]

Passo 2

Para facilitar o raciocínio gráfico e a identificação dos vértices, faço uma mudança que coloca as variáveis em quadrante positivo: defina
y = -x_{2}.
Então y\ge 0 e x_{2}=-y. Substituindo na função objetivo e nas restrições obtemos o problema equivalente
\max\; z = 5x_{1}-6y
sujeito a
\begin{array}{rcl} 2x_{1}-3y & \le & 18,\\[4pt] 2x_{1}-y & \le & 12,\\[4pt] 3x_{1}-3y & \le & 24,\\[4pt] x_{1} & \ge & 0,\\[4pt] y & \ge & 0. \end{array}
Motivo da mudança: agora a região factível está no primeiro quadrante (x_{1}\ge0,y\ge0), o que facilita a visualização e o estudo de quais restrições são limites inferiores/ superiores para y em função de x_{1}.]

Passo 3

Reescrevo as três desigualdades para isolar y (assim veremos qual é o menor y permitido para cada x_{1}):
2x_{1}-3y\le 18 \quad\Longrightarrow\quad -3y \le 18-2x_{1} \quad\Longrightarrow\quad y \ge \frac{2x_{1}-18}{3},
2x_{1}-y\le 12 \quad\Longrightarrow\quad -y \le 12-2x_{1} \quad\Longrightarrow\quad y \ge 2x_{1}-12,
3x_{1}-3y\le 24 \quad\Longrightarrow\quad -3y \le 24-3x_{1} \quad\Longrightarrow\quad y \ge x_{1}-8.
Além disso temos y\ge 0. Portanto, para cada valor de x_{1}\ge0 o valor mínimo admissível de y é
y_{\min}(x_{1}) = \max\Big\{0,\;\frac{2x_{1}-18}{3},\;2x_{1}-12,\;x_{1}-8\Big\}.
Explicação: todas as três desigualdades viraram limites inferiores para y porque, ao trocar y=-x_{2}, os termos com y aparecem com sinal negativo nas desigualdades originais.

Passo 4

Vou analisar qual das quatro funções dentro do máximo domina (é a maior) em diferentes intervalos de x_{1}. Defino:
f_{0}(x_{1})=0,\quad f_{1}(x_{1})=\frac{2x_{1}-18}{3},\quad f_{2}(x_{1})=2x_{1}-12,\quad f_{3}(x_{1})=x_{1}-8.
Encontro os pontos onde cada uma troca de sinal com f_{0}:
f_{1}=0 \Rightarrow x_{1}=9,\qquad f_{2}=0 \Rightarrow x_{1}=6,\qquad f_{3}=0 \Rightarrow x_{1}=8.
Para 0\le x_{1}<6 temos f_{1}<0,\;f_{2}<0,\;f_{3}<0, então y_{\min}(x_{1})=f_{0}(x_{1})=0.
Para x_{1}\ge 6 todas as funções f_{i} não-negativas são possíveis, mas é preciso ver qual é a maior entre f_{1},f_{2},f_{3}. Comparando:
  • Para x_{1}\ge 6, tem-se f_{2}\ge f_{3} porque f_{2}-f_{3}= (2x_{1}-12)-(x_{1}-8)=x_{1}-4\ge2>0.
  • Comparando f_{2} e f_{1}: f_{2}-f_{1}=\frac{4}{3}x_{1}-6, que é positivo para x_{1}>4{,}5. Assim, para x_{1}\ge6 temos f_{2}\ge f_{1}.
    Conclusão prática:
y_{\min}(x_{1})=\begin{cases} 0, & 0\le x_{1}\le 6,\\[4pt] 2x_{1}-12, & x_{1}\ge 6. \end{cases}]

Passo 5

Agora escrevo a função objetivo em cada trecho, lembrando z(x_{1})=5x_{1}-6y_{\min}(x_{1}).
Caso 0\le x_{1}\le 6: y_{\min}=0, logo
z(x_{1}) = 5x_{1}.
Esta função é crescente em x_{1} (coeficiente 5>0), então no intervalo [0,6] o máximo ocorre em x_{1}=6 com
z(6)=5\cdot 6 = 30.

Passo 6

Caso x_{1}\ge 6: y_{\min}=2x_{1}-12, então
z(x_{1}) = 5x_{1}-6(2x_{1}-12) = 5x_{1}-12x_{1}+72 = -7x_{1}+72.
Esta é uma função decrescente em x_{1} (coeficiente -7<0), logo no intervalo [6,\infty) o máximo ocorre no extremo esquerdo x_{1}=6, dando
z(6) = -7\cdot 6 + 72 = -42 +72 = 30.
Portanto, os dois casos concordam: o valor máximo global é z_{\max}=30 obtido em x_{1}=6.

Passo 7

Volto à variável original x_{2}. Como y= -x_{2} e no ponto ótimo y=0, segue x_{2}=0. Assim o ponto ótimo em variáveis originais é
(x_{1},x_{2})=(6,0).
Verifico que este ponto satisfaz as restrições:
2\cdot 6 + 3\cdot 0 = 12 \le 18,\quad 2\cdot 6 + 0 = 12 \le 12,\quad 3\cdot 6 + 3\cdot 0 =18 \le 24,
e x_{1}\ge0,\;x_{2}\le0 — todas satisfeitas. A restrição ativa (com igualdade) no ponto ótimo é 2x_{1}+x_{2}\le 12 (e também x_{2}\le 0 está ativa já que x_{2}=0).

Passo 8

Mostro que a solução é única. Suponha que exista outro ponto factível com o mesmo valor z=30. Em termos da variável y isso é
5x_{1}-6y=30 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{5x_{1}-30}{6}.
Como o ponto deve ser factível, precisamos de y\ge 2x_{1}-12 (esta era a restrição dominante para x_{1}\ge6). Portanto
\frac{5x_{1}-30}{6} \ge 2x_{1}-12.
Multiplicando por 6: 5x_{1}-30 \ge 12x_{1}-72. Rearranjando:
42 \ge 7x_{1} \quad\Longrightarrow\quad x_{1}\le 6.
Mas para ter y\ge 0 (pois y é não-negativo) e ainda satisfazer y=(5x_{1}-30)/6 com x_{1}\le6, o único ponto possível é x_{1}=6 (caso contrário y<0, o que é inviável). Assim não existe outro ponto factível com z=30. Logo a solução ótima é única.

Passo 9

Interpretação gráfica resumida (como pedido no item (i)):
  • No sistema original (x_{1},x_{2}) a região factível está no semi-plano com x_{1}\ge0 e x_{2}\le0; a região é não-limitada para x_{2}\to -\infty (ou seja, estende-se para baixo), mas isso não impede a existência de máximo porque a função objetivo tem coeficiente positivo em x_{1} e positivo em x_{2} no enunciado original — como x_{2} é não-positivo, o termo 6x_{2} tende a diminuir z quando x_{2} vai para -\infty.
  • Graficamente, a máxima ocorre num vértice da região factível: é o ponto de interseção da reta 2x_{1}+x_{2}=12 com a reta x_{2}=0, ou seja (6,0).
  • Conclusão: é possível resolver graficamente (com a mudança y=-x_{2} fica ainda mais claro), o máximo existe e é único.

Resposta

(x_{1},x_{2})=(6,0),\\ z_{\max}=30 (solução única).

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