Considere os problemas de otimização linear a seguir:
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
(i) Solucione-os graficamente, caso possível. Caso não, explique as razões;
(ii) Indique, em cada caso, se a solução, caso exista, é única, múltipla ou ilimitada;
Passo 1
O enunciado pede:
- (i) Resolver graficamente, se for possível, o problema de otimização linear
sujeito a
- (ii) Indicar, em cada caso, se a solução (quando existir) é única, múltipla ou ilimitada.
Informações dadas:
- Função objetivo
. - Três desigualdades lineares e duas restrições de sinal:
e . - Observação útil: a região factível está no semi-plano onde
é não negativo e é não positivo.]
Passo 2
Para facilitar o raciocínio gráfico e a identificação dos vértices, faço uma mudança que coloca as variáveis em quadrante positivo: defina
Então
e
. Substituindo na função objetivo e nas restrições obtemos o problema equivalente
sujeito a
Motivo da mudança: agora a região factível está no primeiro quadrante
, o que facilita a visualização e o estudo de quais restrições são limites inferiores/ superiores para
em função de
.]
Passo 3
Reescrevo as três desigualdades para isolar
(assim veremos qual é o menor
permitido para cada
):
Além disso temos
. Portanto, para cada valor de
o valor mínimo admissível de
é
Explicação: todas as três desigualdades viraram limites inferiores para
porque, ao trocar
, os termos com
aparecem com sinal negativo nas desigualdades originais.
Passo 4
Vou analisar qual das quatro funções dentro do máximo domina (é a maior) em diferentes intervalos de
. Defino:
Encontro os pontos onde cada uma troca de sinal com
:
Para
temos
, então
.
Para todas as funções
não-negativas são possíveis, mas é preciso ver qual é a maior entre
. Comparando:
Para
- Para
, tem-se porque . - Comparando
e : , que é positivo para . Assim, para temos .
Conclusão prática:
Passo 5
Agora escrevo a função objetivo em cada trecho, lembrando
.
Caso
:
, logo
Esta função é crescente em
(coeficiente
), então no intervalo
o máximo ocorre em
com
Passo 6
Caso
:
, então
Esta é uma função decrescente em
(coeficiente
), logo no intervalo
o máximo ocorre no extremo esquerdo
, dando
Portanto, os dois casos concordam: o valor máximo global é
obtido em
.
Passo 7
Volto à variável original
. Como
e no ponto ótimo
, segue
. Assim o ponto ótimo em variáveis originais é
Verifico que este ponto satisfaz as restrições:
e
— todas satisfeitas. A restrição ativa (com igualdade) no ponto ótimo é
(e também
está ativa já que
).
Passo 8
Mostro que a solução é única. Suponha que exista outro ponto factível com o mesmo valor
. Em termos da variável
isso é
Como o ponto deve ser factível, precisamos de
(esta era a restrição dominante para
). Portanto
Multiplicando por
:
. Rearranjando:
Mas para ter
(pois
é não-negativo) e ainda satisfazer
com
, o único ponto possível é
(caso contrário
, o que é inviável). Assim não existe outro ponto factível com
. Logo a solução ótima é única.
Passo 9
Interpretação gráfica resumida (como pedido no item (i)):
- No sistema original
a região factível está no semi-plano com e ; a região é não-limitada para (ou seja, estende-se para baixo), mas isso não impede a existência de máximo porque a função objetivo tem coeficiente positivo em e positivo em no enunciado original — como é não-positivo, o termo tende a diminuir quando vai para . - Graficamente, a máxima ocorre num vértice da região factível: é o ponto de interseção da reta
com a reta , ou seja . - Conclusão: é possível resolver graficamente (com a mudança
fica ainda mais claro), o máximo existe e é único.