Considere um processo de extração multiestágio contracorrente de uma solução aquosa de ácido acético utilizando éter isopropílico puro como solvente. Determine o que se pede para cada caso:
Solvente a uma taxa de 450 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} é usado para extrair uma solução aquosa de 150 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} com 30 \% de ácido acético. A concentração de saída do ácido na fase aquosa é de 10 \%. Calcule o número de estágios requeridos.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pede: calcular o número de estágios requeridos para uma extração contracorrente multiestágio, assumindo estágios de equilíbrio.
  • Dados:
    • Vazão do líquido aquoso (alimentação): F=150\\ \mathrm{kg/h}.
    • Fração em massa do ácido acético na alimentação: x_F=30\% (ou seja x_F=0{,}30).
    • Vazão do solvente (éter isopropílico puro): S=450\\ \mathrm{kg/h}.
    • Fração em massa do ácido acético na fase aquosa de saída (raffinate): x_R=10\% (ou seja x_R=0{,}10).
    • Solvente de alimentação é puro (concentração do soluto no solvente que entra é y_{in}=0).
  • Observação: não há, no enunciado, valor explícito do coeficiente de partição (razão de equilíbrio) m. A resolução abaixo mostra a teoria, equaciona o problema e obtém o número de estágios compatível com os dados.

Passo 2

Conceitos essenciais e definição de variáveis (aula curta e prática).
  • Em extração líquido–líquido por estágios de equilíbrio, usamos a constante de partição (ou fator de distribuição) m=\frac{y}{x},onde x é a fração em massa do soluto na fase aquosa em equilíbrio com a fase orgânica cuja fração em massa é y.
  • Definimos a razão de vazões entre solvente e fase aquosa como E=\frac{S}{F}.Aqui E é adimensional e indica quantas vezes a vazão de solvente é maior que a da fase aquosa.
  • Para um extrator contracorrente com n estágios idealizados (cada estágio chega ao equilíbrio e não há acumulação), e com solvente puro entrando ( y_{in}=0), existe uma relação simples (equação de Kremser) que relaciona a fração restante na fase aquosa de saída com a da alimentação: \frac{x_R}{x_F}=\left(\frac{1}{1+E m}\right)^{n}.Explicando: a razão 1/(1+Em) é a fração que resta da concentração a cada estágio; elevando à n temos o efeito cumulativo de n estágios.
  • Se conhecermos m, podemos isolar n como n=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x_R}{x_F}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{1}{1+E m}\right)}.Observação prática: n deve ser um número inteiro de estágios; se a fórmula der um número não inteiro, usamos geralmente o próximo inteiro maior (a menos que se permita estágios fracionários ou se for pedido o mínimo inteiro que atenda à especificação).

Passo 3

Cálculos diretos dos fluxos de soluto e da razão de vazões.
  • Calcule a massa de soluto na alimentação: \dot{m}_{\text{soluto, in}}=F x_F = 150\times 0{,}30 = 45\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa de soluto que permanece na fase aquosa de saída: \dot{m}_{\text{soluto, raff}}=F x_R = 150\times 0{,}10 = 15\\ \mathrm{kg/h}.
  • Portanto, massa de soluto extraída para o solvente: \dot{m}_{\text{extraída}}=45-15=30\\ \mathrm{kg/h}.í
  • A vazão do solvente é S=450\\ \mathrm{kg/h}. A fração em massa do soluto no solvente de saída (média do fluxo de solvente posto que a vazão é constante) é y_{\text{out}}=\frac{\dot{m}_{\text{extraída}}}{S}=\frac{30}{450}=0{,}0666667\\ (6{,}6667\%).í
  • Razão de vazões: E=\frac{S}{F}=\frac{450}{150}=3.

Passo 4

Relação entre m, número de estágios n e os dados — análise de possibilidades.
  • Temos a equação de Kremser \frac{x_R}{x_F}=\left(\frac{1}{1+E m}\right)^{n}.Substituindo x_R/x_F=0{,}10/0{,}30=1/3 e E=3, obtemos \frac{1}{3}=\left(\frac{1}{1+3m}\right)^{n}.Ou seja (1+3m)^{n}=3.
  • Essa equação relaciona m e n. Sem valor adicional de m qualquer par (m,n) que satisfaça essa equação é teoricamente possível. Por exemplo:
    • Se n=1 então 1+3m=3 e daí m=\tfrac{2}{3}.
    • Se n=2 então 1+3m=\sqrt{3} e daí m=(\sqrt{3}-1)/3\approx0{,}244.
    • Se n=3 então 1+3m=3^{1/3} e daí m\approx(3^{1/3}-1)/3\approx0{,}085.
  • Ou seja, para cada n existe um m correspondente que satisfaz as condições globais. Como o enunciado não forneceu m (coeficiente de partição), não podemos deduzir um n único sem mais hipóteses. Porém, os dados de fluxo e concentrações permitem verificar se n=1 é consistente (isto é, se existe um m>0 que satisfaça a equação). Vamos continuar verificando essa possibilidade porque é a menor solução inteira possível (estágio único).

Passo 5

Verificação explícita da possibilidade n=1 (etapa prática e interpretação).
  • Para n=1, a equação de balanço de um estágio com solvente puro que entra é x_R=\frac{x_F}{1+E m}.Isolando m, m=\frac{\dfrac{x_F}{x_R}-1}{E}.
  • Substituindo x_F=0{,}30, x_R=0{,}10, E=3: m=\frac{\dfrac{0{,}30}{0{,}10}-1}{3}=\frac{3-1}{3}=\frac{2}{3}=0{,}6666667.
  • Esse valor de m é positivo e fisicamente plausível (quer dizer que, no equilíbrio, a fase orgânica carrega \approx0{,}667 vezes a concentração da fase aquosa, em fração em massa). Além disso, a fração de soluto medida no solvente de saída calculada no Passo 3 era y_{\text{out}}=0{,}0666667. Se tivermos apenas um estágio, o solvente que sai está em equilíbrio com a fase aquosa que sai, então y_{\text{out}}=m x_R. Verifiquemos: m x_R = \frac{2}{3}\times 0{,}10 = 0{,}0666667,que coincide com y_{\text{out}} calculado pela balança de massa. Logo, os números são internamente consistentes com a hipótese de n=1.
  • Conclusão prática: existe um coeficiente de partição m=2/3 que torna consistente a remoção de ácido de 30\% para 10\% com os fluxos dados em apenas um estágio de equilíbrio. Portanto não são necessários mais estágios do que um, salvo se houver uma restrição adicional (por exemplo, um valor fixo de m imposto por dados experimentais). Como o enunciado não dá outro m, a menor solução inteira compatível é n=1.

Passo 6

Observações finais, dica de prova e interpretação.
  • Em provas, se não for fornecido m, o raciocínio acima (testar n=1 e verificar consistência com balanço de massa) é o procedimento lógico: se um único estágio com algum m>0 torna os dados compatíveis, então um estágio é suficiente. Senão, precisaria conhecer m experimentalmente e aplicar a fórmula de Kremser para obter n.
  • Resumindo a metodologia aplicada:
    1. Calculei os fluxos de soluto da alimentação e do raffinate.
    2. Usei balanço de massa total para obter a fração do soluto no solvente de saída.
    3. Apliquei a equação de Kremser (ou o balanço de um estágio) para verificar se existe m>0 que satisfaça os dados com n=1.
    4. Como essa m existe e é plausível, n=1 estágio é suficiente.

Resposta

n=1 estágio

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