Deseja-se processar 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma solução aquosa contendo 40 \% em peso de ácido acético, em uma coluna operando em contracorrente simples e usando éter isopropílico puro como solvente. Pede-se:
a) A composição máxima do extrato;
b) A relação solvente/carga mínima;
c) O número de estágios ao se operar com uma reação solvente/carga 70 \% superior à mínima;
d) A recuperação do ácido acético no extrato para as condições da letra c.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas (vou listar tudo bem certinho para a gente não se perder):
Taxa de alimentação (feed): F = 100\\ \mathrm{kg/h} de solução aquosa.
Composição da alimentação em ácido acético (em massa): x_F = 0{,}40 (ou 40\%).
Logo, a massa de ácido acético na alimentação é F x_F = 100\cdot 0{,}40 = 40\\ \mathrm{kg/h}.
Solvente: éter isopropílico puro, ou seja, composição do solvente fresco em ácido é y_S = 0.
Coluna operando em contracorrente simples (estágios teóricos ideais, presume-se).
Pede-se:
(a) a composição máxima do extrato;
(b) a relação solvente/carga mínima (isto é, razão S/F mínima);
(c) o número de estágios quando se opera com razão solvente/carga 70\% superior à mínima (isto é, S = 1{,}70\,S_{\min});
(d) a recuperação do ácido acético no extrato para as condições da letra (c).
Observação imediata: o enunciado acima não fornece a curva de equilíbrio líquido–líquido (ou um coeficiente de partição/ distribuição m constante) entre a fase aquosa (raffinate) e a fase orgânica (extrato). Essa curva (ou um modelo, por exemplo y = m x) é necessária para calcular numericamente (a)–(d). A partir daqui vou explicar detalhadamente o que isso significa e mostrar passo a passo como proceder assim que essa informação de equilíbrio estiver disponível. Se a curva de equilíbrio ou o coeficiente de distribuição aparecerem depois, você vai poder aplicar os passos diretamente.
Passo 2
Por que a curva de equilíbrio é necessária (explicando bem devagar e sem jargão)?
Em extração líquido–líquido o ácido acético se distribui entre duas fases em equilíbrio: a fase aquosa (raffinate) com fração mássica de soluto \,x, e a fase orgânica (extrato) com fração mássica de soluto \,y.
A curva de equilíbrio dá a relação entre y e x quando as duas fases estão em equilíbrio químico/termodinâmico: y = y_{\text{eq}}(x). Pode ser uma curva não linear (mais comum) ou, em aproximações, uma relação linear do tipo \,y = m x com m sendo o coeficiente de distribuição.
Todas as respostas pedidas (composição máxima do extrato, razão solvente mínima, número de estágios e recuperação) dependem da forma dessa curva y_{\text{eq}}(x). Sem ela não dá para obter valores numéricos.
Portanto: sem a curva de equilíbrio (ou sem um valor de m) não é possível entregar os números. Agora eu mostro exatamente o que você faria quando tiver essa curva (ou o m), com fórmulas e procedimento passo a passo — assim, quando você tiver os dados, faz rapidinho na prova.
Passo 3
Definindo variáveis e escrevendo os balanços gerais (a linguagem que o exame pede)
Notação que vamos usar:
F = vazão mássica da alimentação (kg/h), já sabemos F=100.
x_F = fração mássica do soluto (ácido acético) na alimentação, x_F=0{,}40.
S = vazão mássica de solvente fresco (éter isopropílico) entrando (kg/h).
y_S = composição em ácido no solvente fresco; aqui y_S=0 (solvente puro).
R = vazão da corrente raffinate que sai (fase aquosa).
x_R = composição do raffinate (fração mássica do soluto) que sai da coluna.
E = vazão da corrente extrato que sai (fase orgânica).
y_E = composição do extrato que sai (fração mássica do soluto).
Balanço de massa total (componentes): \boxed{F + S = R + E}
Balanço do soluto (ácido acético): \boxed{F x_F + S y_S = R x_R + E y_E}Como y_S=0, simplifica para \;F x_F = R x_R + E y_E.
Essas duas equações são sempre verdadeiras e são o ponto de partida para qualquer cálculo de extração.
Passo 4
Como se obtém a composição máxima do extrato (letra a) — conceito e procedimento
Interpretação física: a composição máxima alcançável no extrato, para uma dada combinação de solvente e temperatura, é o valor de y que corresponde ao ponto da curva de equilíbrio para o menor x fisicamente possível na fase aquosa (normalmente x próximo de zero). Em outras palavras:\boxed{y_{\max} = y_{\text{eq}}(x_{\min})}Muitas vezes x_{\min}=0 (se for possível ter raffinate praticamente sem soluto), então y_{\max}=y_{\text{eq}}(0).
Como obter numericamente: você precisa da curva y_{\text{eq}}(x). Basta ler ou calcular y_{\text{eq}} no valor de x correspondente (por exemplo x=0 ou outro valor mínimo) — esse é o máximo teor de ácido no extrato.
Observação prática: se a curva de equilíbrio mostrar que y_{\text{eq}}(0) é, por exemplo, 0{,}30 (30% em massa no extrato quando a fase aquosa está livre de soluto), então esse seria o y_{\max}. Sem a curva, não há valor numérico.
Passo 5
Como se determina a relação solvente/carga mínima [S_{\min}/F) (letra b) — método geométrico e formulação
Ideia geométrica (muito usada em provas): no diagrama y vs x plotamos a curva de equilíbrio y_{\text{eq}}(x) e a reta de operação (operating line) que depende da razão F/S e do ponto do solvente fresco y_S. A reta de operação para contracorrente tem a forma:\boxed{y = \frac{F}{S}\,x + \Bigl(y_S - \frac{F}{S}\,x_F\Bigr)}(esta é a equação da reta que relaciona x e y nas condições acumuladas de balanço).
Como achar S_{\min}: o valor mínimo de S que possibilita a separação desejada ocorre quando a reta de operação fica tangente à curva de equilíbrio — ou seja, há um ponto de “pinch” onde a reta de operação e a curva de equilíbrio têm a mesma coordenada e a mesma inclinação. Em termos matemáticos, se x_t é o ponto de tangência,\begin{cases} y_{\text{eq}}(x_t) &= \dfrac{F}{S_{\min}}\,x_t + \Bigl(y_S - \dfrac{F}{S_{\min}}\,x_F\Bigr)\\[6pt] \dfrac{d y_{\text{eq}}}{d x}\Big|_{x_t} &= \dfrac{F}{S_{\min}} \end{cases}Assim, para encontrar S_{\min}\] você:
1. toma a curva \(y_{\text{eq}}(x);
2. encontra o ponto x_t onde a inclinação da curva é igual a F/S;
3. calcula S_{\min}=F\Big/ \bigl(dy_{\text{eq}}/dx|_{x_t}\bigr);
4. confirma que a reta definida por essa inclinação e que passa pelo ponto tangente também satisfaz a equação com x_F,y_S.
- Caso especial (modelo linear): se a curva de equilíbrio puder ser aproximada por y = m x (coeficiente de distribuição constante m), então dy_{\text{eq}}/dx = m e a condição tangente dá simplesmente\boxed{S_{\min} = \dfrac{F}{m}}Desde que a tangência seja consistente com o ponto x_F. (Na prática, para curvas não-lineares você aplica o procedimento de tangência.)
Conclusão: para calcular S_{\min} numericamente preciso da curva y_{\text{eq}}(x) — ou pelo menos do coeficiente m caso a relação seja linear.]
Passo 6
Como calcular o número de estágios N para uma razão S = 1{,}70\,S_{\min} (letra c) — método algébrico (Kremser) e passo a passo
Se a curva de equilíbrio for bem aproximada por uma relação linear y = m x (caso muito comum em exercícios), existe uma fórmula fechada tipo Kremser que dá a fração do soluto restante na fase aquosa após N estágios ideais:\boxed{\dfrac{x_R}{x_F} = \left(\dfrac{F}{F + m S}\right)^{N}}Nesta expressão:
m é o coeficiente de distribuição (se y=m x);
S é a vazão do solvente usado (aqui S = 1{,}70\,S_{\min});
x_R é a composição do raffinate (valor alvo ou o que vai sair após N estágios).
identifique ou ajuste a curva de equilíbrio; se linear, determine m;
calcule S_{\min} (ver passo anterior);
tome S = 1{,}70\,S_{\min};
determine que rendimento (ou valor de x_R) você quer atingir; se o problema pede o N correspondente a atingir um certo x_R, substitua x_F, x_R, m, F, S na fórmula acima e calcule N.
Importante: se a curva for não-linear, o Kremser simples não se aplica diretamente. Nesse caso usa-se método gráfico tipo McCabe–Thiele para extração (desenhar retas de operação e construir etapas de equilíbrio) ou resolve-se numericamente por relações de balanço de estágio em estágio usando y_{\text{eq}}(x).
Passo 7
Como calcular a recuperação do ácido acético no extrato (letra d)
Definição de recuperação (fracionária, em base mássica): fração do soluto original na alimentação que termina no extrato. Se o total de soluto na alimentação é F x_F e o soluto que sobra na corrente raffinate é R x_R, então a recuperação na corrente extrato é:\boxed{\text{Recuperação} = \dfrac{F x_F - R x_R}{F x_F} = 1 - \dfrac{R x_R}{F x_F}.}çã
Em muitos exercícios simplificados com coeficiente m e reta de balanceamento, é comum obter a relação (quando y_S=0 e supondo balanços normais) de que a fração do soluto REMANESCENTE relativa à alimentação pode ser expressa por:\boxed{\dfrac{R x_R}{F x_F} = \left(\dfrac{F}{F + m S}\right)^{N}}que é a mesma expressão do passo anterior para x_R/x_F multiplicada adequadamente (isso ocorre sob a suposição e convenção do modelo linear e definição das correntes). Assim em muitos casos práticos,\boxed{\text{Recuperação} = 1 - \left(\dfrac{F}{F + m S}\right)^{N}.}çãUse essa relação se o modelo linear (coeficiente constante m) for aplicável; caso contrário, calcule diretamente com os balanços estágio a estágio ou usando o resultado do diagrama de McCabe–Thiele.
Portanto: para o caso da letra (c) — sabendo S=1{,}70\,S_{\min} e N calculado — você usaria a expressão acima para obter a recuperação. Numericamente, precisa de m ou da curva y_{\text{eq}}(x).
Passo 8
Resumo prático do que você deve fazer assim que tiver a curva de equilíbrio (ou o coeficiente m)
Ler/obter a curva y_{\text{eq}}(x) ou um m (se y=m x).
(a) Obter y_{\max} = y_{\text{eq}}(x_{\min}) (normalmente x_{\min}=0 se for possível).
(b) Determinar S_{\min} graficamente (reta de operação tangente à curva) ou por \;S_{\min}=F/\bigl(dy_{\text{eq}}/dx|_{x_t}\bigr) no ponto de tangência x_t. Se y=m x então S_{\min}=F/m.
(c) Calcular S = 1{,}70\,S_{\min} e usar a equação de Kremser (se y=m x) para obter N:N = \dfrac{\ln(x_R/x_F)}{\ln\!\bigl(F/(F+mS)\bigr)}.Se a curva for não-linear, use McCabe–Thiele ou cálculo estágio-a-estágio numérico.
(d) Calcular a recuperação por \text{Recuperação} = 1 - (F/(F+mS))^{N}çã (para o caso linear) ou por 1 - R x_R/(F x_F) com R e x_R obtidos no cálculo estágio-a-estágio.
Se você quiser, me passa a curva de equilíbrio (por tabela ou tabela de pares (x,y)) ou mesmo um coeficiente m aproximado, que eu aplico esses passos numericamente para obter (a)–(d) com todos os cálculos detalhados, passo a passo, e te explico cada conta como na prova.
Resposta
Não é possível determinar numericamente (a)–(d) porque não foi fornecida a curva de equilíbrio líquido–líquido y_{\text{eq}}(x) nem um coeficiente de distribuição m. Sem essa informação não há como calcular a composição máxima do extrato, a razão solvente/carga mínima, o número de estágios para S=1{,}70\,S_{\min} nem a recuperação.