em que X[n] é um ruído branco gaussiano com variância unitária. Derive o filtro preditor linear ótimo para Y[n+1] dado Y[n], Y[n-1], Y[n-2]. Qual é o parâmetro h[2] do preditor? Use 3 casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede: derivar o filtro preditor linear ótimo para Y[n+1] usando as observações Y[n],\,Y[n-1],\,Y[n-2], quando
Y[n]=\frac{X[n]+X[n-1]+X[n-2]}{3}
e X[n] é ruído branco gaussiano com variância 1. A pergunta final objetiva o valor do parâmetro h[2] do preditor linear ótimo (usar 3 casas decimais).
Informações dadas, listadas claramente:
X[n] é ruído branco com \mathbb{E}[X[n]]=0 e \operatorname{Var}(X[n])=1.
o preditor linear ótimo minimiza \mathbb{E}\big[(Y[n+1]-\mathbf{h}^\top\mathbf{y}_n)^2\big]. As equações normais são
\mathbf{R}\,\mathbf{h}=\mathbf{p},
onde \mathbf{R}=\mathbb{E}[\mathbf{y}_n\mathbf{y}_n^\top] é a matriz de autocovariâncias (matriz Toeplitz) e \mathbf{p}=\mathbb{E}[Y[n+1]\mathbf{y}_n] é o vetor de cruz-covariâncias. Em termos de \gamma(\cdot),
R_{ij}=\gamma(i-j),\qquad p_i=\gamma(i+1),
se indexarmos i,j por 0,1,2 correspondendo a Y[n-i]. Aqui explicito: R_{00}=\gamma(0),\\ R_{01}=\gamma(-1)=\gamma(1), etc.]
Passo 4
Vamos montar \mathbf{R} e \mathbf{p} com os valores de \gamma calculados.
Para conferência, h[0]=\dfrac{2-2\cdot 0 -(-1/4)}{3}=\dfrac{2+1/4}{3}=\dfrac{9}{12}=0,75. Assim os coeficientes são
h[0]=0,75,\qquad h[1]=0,\qquad h[2]=-0,25.]
Passo 6
Interpretação rápida e encorajamento: o preditor ótimo usa somente Y[n] e Y[n-2] efetivamente (porque h[1]=0 aqui), com sinais e magnitudes calculadas acima. Está tudo consistente com a estrutura de autocovariância curta da média móvel; isso facilita o sistema e torna a solução simples. Vai dar certo na prova — respira, você conseguiu reduzir o sistema bonito e limpo!