Considere um processo média móvel
Y[n]=\frac{X[n]+X[n-1]+X[n-2]}{3}
em que X[n] é um ruído branco gaussiano com variância unitária. Derive o filtro preditor linear ótimo para Y[n+1] dado Y[n], Y[n-1], Y[n-2]. Qual é o parâmetro h[2] do preditor? Use 3 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede: derivar o filtro preditor linear ótimo para Y[n+1] usando as observações Y[n],\,Y[n-1],\,Y[n-2], quando
Y[n]=\frac{X[n]+X[n-1]+X[n-2]}{3}
e X[n] é ruído branco gaussiano com variância 1. A pergunta final objetiva o valor do parâmetro h[2] do preditor linear ótimo (usar 3 casas decimais).
Informações dadas, listadas claramente:
  • X[n] é ruído branco com \mathbb{E}[X[n]]=0 e \operatorname{Var}(X[n])=1.
  • Y[n]=\dfrac{X[n]+X[n-1]+X[n-2]}{3}.
  • O preditor linear que queremos tem a forma
\widehat{Y}[n+1]=h[0]\,Y[n]+h[1]\,Y[n-1]+h[2]\,Y[n-2].
  • Deve-se obter o valor de h[2] com três casas decimais.

Passo 2

Primeiro precisamos das covariâncias/autocovariâncias de Y[n]\). Vou definir a função de covariância \[\gamma(k)=\mathbb{E}\big[Y[n]\,Y[n+k]\big],
que só depende de k por estacionaridade. Vou calcular \gamma(k) direto a partir da definição de Y[n].
Escrevendo produto e usando linearidade:
\gamma(k)=\mathbb{E}\Big[\frac{1}{3}\sum_{i=0}^{2}X[n-i]\cdot\frac{1}{3}\sum_{j=0}^{2}X[n+k-j]\Big] =\frac{1}{9}\sum_{i=0}^{2}\sum_{j=0}^{2}\mathbb{E}\big[X[n-i]X[n+k-j]\big].
Como X[\cdot] é ruído branco com variância 1,
\mathbb{E}\big[X[a]X[b]\big]= \begin{cases} 1,& a=b,\\[4pt] 0,& a\ne b. \end{cases}
Portanto cada termo contribui apenas quando n-i=n+k-j\], isto é quando \(i=j+k. Contamos esses pares (i,j) para cada k:
  • Para k=0: soluções i=j com i=0,1,2 → 3 pares. Logo
\gamma(0)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
  • Para k=1: soluções i=j+1 → pares (i,j)=(1,0),(2,1) → 2 pares. Logo
\gamma(1)=\frac{2}{9}.
  • Para k=2: solução i=j+2 → par (2,0) → 1 par. Logo
\gamma(2)=\frac{1}{9}.
  • Para |k|\ge 3: nenhum par possível → \gamma(k)=0.
Observação: \gamma(-k)=\gamma(k) porque é simétrica.
Resumo numérico:
\gamma(0)=\frac{1}{3},\qquad \gamma(1)=\frac{2}{9},\qquad \gamma(2)=\frac{1}{9},\qquad \gamma(k)=0\\ \text{para }|k|\ge 3.]

Passo 3

Explico agora a equação normal (Wiener–Hopf) aplicada ao preditor linear mínimo de quadrados. Se definimos o vetor de coeficientes
\mathbf{h}=\begin{pmatrix}h[0]\\[4pt]h[1]\\[4pt]h[2]\end{pmatrix}
e o vetor de observações
\mathbf{y}_n=\begin{pmatrix}Y[n]\\[4pt]Y[n-1]\\[4pt]Y[n-2]\end{pmatrix},
o preditor linear ótimo minimiza \mathbb{E}\big[(Y[n+1]-\mathbf{h}^\top\mathbf{y}_n)^2\big]. As equações normais são
\mathbf{R}\,\mathbf{h}=\mathbf{p},
onde \mathbf{R}=\mathbb{E}[\mathbf{y}_n\mathbf{y}_n^\top] é a matriz de autocovariâncias (matriz Toeplitz) e \mathbf{p}=\mathbb{E}[Y[n+1]\mathbf{y}_n] é o vetor de cruz-covariâncias. Em termos de \gamma(\cdot),
R_{ij}=\gamma(i-j),\qquad p_i=\gamma(i+1),
se indexarmos i,j por 0,1,2 correspondendo a Y[n-i]. Aqui explicito: R_{00}=\gamma(0),\\ R_{01}=\gamma(-1)=\gamma(1), etc.]

Passo 4

Vamos montar \mathbf{R} e \mathbf{p} com os valores de \gamma calculados.
Usando \gamma(0)=\dfrac{1}{3},\\ \gamma(1)=\dfrac{2}{9},\\ \gamma(2)=\dfrac{1}{9}, obtemos
\mathbf{R}= \begin{pmatrix} \gamma(0) & \gamma(1) & \gamma(2)\\[6pt] \gamma(1) & \gamma(0) & \gamma(1)\\[6pt] \gamma(2) & \gamma(1) & \gamma(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{9}\\[8pt] \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{9}\\[8pt] \dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix},
e
\mathbf{p}= \begin{pmatrix}\gamma(1)\\[4pt]\gamma(2)\\[4pt]\gamma(3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{2}{9}\\[4pt]\dfrac{1}{9}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para facilitar a álgebra multiplico a equação \mathbf{R}\mathbf{h}=\mathbf{p} por 9, obtendo o sistema com coeficientes inteiros:
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}h[0]\\[4pt]h[1]\\[4pt]h[2]\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolvo o sistema linear (eliminação). As equações são
\begin{cases} 3h[0]+2h[1]+1h[2]=2,\\[4pt] 2h[0]+3h[1]+2h[2]=1,\\[4pt] 1h[0]+2h[1]+3h[2]=0. \end{cases}
Isolo h[0] da primeira equação:
h[0]=\frac{2-2h[1]-h[2}}{3}.
Substituo em segunda e terceira equações.
Segunda: multiplicando por 3 para limpar denominador,
2(2-2h[1]-h[2])+9h[1]+6h[2]=3
\Rightarrow 4-4h[1]-2h[2]+9h[1]+6h[2]=3
\Rightarrow 5h[1]+4h[2]=-1. \quad (1)
Terceira: multiplicando por 3,
(2-2h[1]-h[2])+6h[1]+9h[2]=0
\Rightarrow 2+4h[1]+8h[2]=0
\Rightarrow 2h[1]+4h[2]=-1. \quad (2)
Subtraindo (2) de (1):
(5h[1]+4h[2])-(2h[1]+4h[2])= -1 -(-1)
\Rightarrow 3h[1]=0 \\ \Rightarrow\\ h[1]=0.
Com h[1]=0 na (2):
2\cdot 0 + 4h[2]=-1 \\ \Rightarrow\\ h[2]=-\,\frac{1}{4}=-0,25.
Para conferência, h[0]=\dfrac{2-2\cdot 0 -(-1/4)}{3}=\dfrac{2+1/4}{3}=\dfrac{9}{12}=0,75. Assim os coeficientes são
h[0]=0,75,\qquad h[1]=0,\qquad h[2]=-0,25.]

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento: o preditor ótimo usa somente Y[n] e Y[n-2] efetivamente (porque h[1]=0 aqui), com sinais e magnitudes calculadas acima. Está tudo consistente com a estrutura de autocovariância curta da média móvel; isso facilita o sistema e torna a solução simples. Vai dar certo na prova — respira, você conseguiu reduzir o sistema bonito e limpo!

Resposta

-0,250

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