Questão 4 - Duas técnicas de processo, T1 e T2, são comparadas quanto ao tempo de processamento (segundos). Supõe-se normalidade e variâncias desconhecidas. Foram coletadas amostras independentes com os seguintes valores:
Amostra T1
: 8.1, 7.9, 8.5, 8.3, 7.8, 8.0, 8.2, 8.4, 7.7, 8.6, 8.0, 7.6, 8.3, 7.9, 8.1, 8.2, 7.8, 8.4, 7.5, 8.0
Amostra T2
,
Determine: a) Construa um intervalo de confiança de
para
. c) Interprete o que ele indica sobre se T1 é mais rápida que T2?
Passo 1
O enunciado fornece duas amostras independentes dos tempos (em segundos) de dois processos T1 e T2 e pede:
- (a) Construir um intervalo de confiança de
para , onde é a média do tempo de T1 e a média do tempo de T2. - (c) Interpretar o que esse intervalo indica sobre se T1 é mais rápida que T2.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
- Amostra T1:
e observações - Amostra T2:
e observações
Condição indicada: supõe-se normalidade e variâncias desconhecidas (não foi dito que são iguais). Portanto a fórmula a usar será a do intervalo para a diferença de médias em amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes (intervalo de Welch).
Passo 2
Calcular as estatísticas amostrais básicas: médias amostrais
, e variâncias amostrais
.
Fórmulas usadas (explicando cada símbolo):
- Para a média amostral da amostra
de tamanho : onde são as observações da amostra . - Para a variância amostral (amostral não viesada) da amostra
:
Cálculos (faço conta e mostro o resultado arredondado a três casas decimais):
- Soma e média T1:
- Soma e média T2:
- Variâncias amostrais (usei a soma dos quadrados das diferenças em conta manual):
onde é a soma dos quadrados dos desvios de T1 em relação a .
Resumo numérico:
Passo 3
Determinar a estimativa pontual da diferença de médias e o erro padrão da diferença (usando variâncias diferentes).
A estimativa pontual é
Erro padrão (SE) da diferença para o caso de variâncias desconhecidas e possivelmente diferentes (fórmula de Welch):
Substituindo os valores:
Explicação curta: o SE combina a incerteza de cada média amostral; quanto maiores as variâncias ou menores os tamanhos, maior o SE.
Passo 4
Calcular os graus de liberdade aproximados de Welch (necessários para o quantil
).
Fórmula de Welch–Satterthwaite para os graus de liberdade efetivos
:
Substituindo:
Logo
Interpretação: usamos
graus de liberdade para buscar o quantil
.
Passo 5
Obter o quantil crítico
para o nível de confiança
.
Para intervalo de
usamos nível de significância
e quantil
.
Com , o valor crítico é aproximadamente
Com
(Explicação: tabelas ou software dão esse valor; para
entre 30 e 40 o
fica perto de
.)
Passo 6
Construir o intervalo de confiança de
para
.
Fórmula do intervalo:
Cálculo da margem de erro:
Intervalo:
Arredondando a três casas decimais:
Passo 7
Interpretação (o que o intervalo nos diz sobre se T1 é mais rápida que T2).
- O intervalo de confiança para
é totalmente negativo: tanto o limite inferior quanto o superior são menores que zero. - Isso significa que, com
de confiança, a média do tempo de T1 é menor do que a média do tempo de T2 por um valor entre aproximadamente e segundos. - Em linguagem direta: há evidência forte (nível de confiança
) de que T1 é mais rápida que T2 (ou seja, ).
Resposta
a) Intervalo de confiança de
para
:
segundos.
c) Como o intervalo é totalmente negativo (não contém zero), conclui‑se que
; portanto T1 é mais rápida que T2 (com
de confiança).