Questão 4 - Duas técnicas de processo, T1 e T2, são comparadas quanto ao tempo de processamento (segundos). Supõe-se normalidade e variâncias desconhecidas. Foram coletadas amostras independentes com os seguintes valores:
Amostra T1 (\mathrm{n} 1=20) : 8.1, 7.9, 8.5, 8.3, 7.8, 8.0, 8.2, 8.4, 7.7, 8.6, 8.0, 7.6, 8.3, 7.9, 8.1, 8.2, 7.8, 8.4, 7.5, 8.0
Amostra T2 (\mathrm{n} 2=25): 9.0,8.7,9.2,9.1,8.8,9.3,8.9,9.4,8.6,9.5,8.5,9.6,8.4,9.7,8.3, 9.8,8.2,9.9,8.1,10.0,8.0,9.0,8.7,9.2,8.9
Determine: a) Construa um intervalo de confiança de 99 \% para \mu_{1}-\mu_{2}. c) Interprete o que ele indica sobre se T1 é mais rápida que T2?

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes dos tempos (em segundos) de dois processos T1 e T2 e pede:
  • (a) Construir um intervalo de confiança de 99\% para \mu_{1}-\mu_{2}, onde \mu_{1} é a média do tempo de T1 e \mu_{2} a média do tempo de T2.
  • (c) Interpretar o que esse intervalo indica sobre se T1 é mais rápida que T2.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
  • Amostra T1: n_{1}=20 e observações 8,1,\;7,9,\;8,5,\;8,3,\;7,8,\;8,0,\;8,2,\;8,4,\;7,7,\;8,6,\;8,0,\;7,6,\;8,3,\;7,9,\;8,1,\;8,2,\;7,8,\;8,4,\;7,5,\;8,0.
  • Amostra T2: n_{2}=25 e observações 9,0,\;8,7,\;9,2,\;9,1,\;8,8,\;9,3,\;8,9,\;9,4,\;8,6,\;9,5,\;8,5,\;9,6,\;8,4,\;9,7,\;8,3,\;9,8,\;8,2,\;9,9,\;8,1,\;10,0,\;8,0,\;9,0,\;8,7,\;9,2,\;8,9.
Condição indicada: supõe-se normalidade e variâncias desconhecidas (não foi dito que são iguais). Portanto a fórmula a usar será a do intervalo para a diferença de médias em amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes (intervalo de Welch).

Passo 2

Calcular as estatísticas amostrais básicas: médias amostrais \bar{X}_1,\bar{X}_2, e variâncias amostrais s_1^2,s_2^2.
Fórmulas usadas (explicando cada símbolo):
  • Para a média amostral da amostra i de tamanho n_i: \bar{X}_i=\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i} X_{ij},onde X_{ij} são as observações da amostra i.
  • Para a variância amostral (amostral não viesada) da amostra i: s_i^2=\frac{1}{n_i-1}\sum_{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\bar{X}_i)^2.
Cálculos (faço conta e mostro o resultado arredondado a três casas decimais):
  • Soma e média T1: \sum X_{1j}=161,3\quad\Rightarrow\quad \bar{X}_1=\frac{161,3}{20}=8,065.
  • Soma e média T2: \sum X_{2j}=224,8\quad\Rightarrow\quad \bar{X}_2=\frac{224,8}{25}=8,992.
  • Variâncias amostrais (usei a soma dos quadrados das diferenças em conta manual): s_1^2=\frac{1,7255}{19}=0,090816\quad\Rightarrow\quad s_1\approx0,301,onde 1,7255 é a soma dos quadrados dos desvios de T1 em relação a \bar{X}_1. s_2^2=\frac{7,8384}{24}=0,326600\quad\Rightarrow\quad s_2\approx0,572.
Resumo numérico:
\bar{X}_1=8,065,\quad s_1^2=0,090816,\quad n_1=20,
\bar{X}_2=8,992,\quad s_2^2=0,326600,\quad n_2=25.

Passo 3

Determinar a estimativa pontual da diferença de médias e o erro padrão da diferença (usando variâncias diferentes).
A estimativa pontual é
\bar{X}_1-\bar{X}_2=8,065-8,992=-0,927.
Erro padrão (SE) da diferença para o caso de variâncias desconhecidas e possivelmente diferentes (fórmula de Welch):
\mathrm{SE}=\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}.
Substituindo os valores:
\frac{s_1^2}{n_1}=\frac{0,090816}{20}=0,0045408, \qquad \frac{s_2^2}{n_2}=\frac{0,326600}{25}=0,0130640,
\mathrm{SE}=\sqrt{0,0045408+0,0130640}=\sqrt{0,0176048}\approx0,13272.
Explicação curta: o SE combina a incerteza de cada média amostral; quanto maiores as variâncias ou menores os tamanhos, maior o SE.

Passo 4

Calcular os graus de liberdade aproximados de Welch (necessários para o quantil t).
Fórmula de Welch–Satterthwaite para os graus de liberdade efetivos \nu:
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}.
Substituindo:
\text{numerador}=(0,0176048)^2\approx0,00030984,
\text{denominador}=\frac{(0,0045408)^2}{19}+\frac{(0,0130640)^2}{24} \approx\frac{0,00002064}{19}+\frac{0,00017067}{24} \approx0,000001085+0,000007111=0,000008196.
Logo
\nu\approx\frac{0,00030984}{0,000008196}\approx37,8.
Interpretação: usamos \nu\approx37{,}8 graus de liberdade para buscar o quantil t_{1-\alpha/2,\nu}.

Passo 5

Obter o quantil crítico t para o nível de confiança 99\%.
Para intervalo de 99\% usamos nível de significância \alpha=0,01 e quantil t_{1-\alpha/2,\nu}=t_{0,995,\nu}.
Com \nu\approx37{,}8, o valor crítico é aproximadamente
t_{0,995,37{,}8}\approx2,712.
(Explicação: tabelas ou software dão esse valor; para \nu entre 30 e 40 o t fica perto de 2,71.)

Passo 6

Construir o intervalo de confiança de 99\% para \mu_1-\mu_2.
Fórmula do intervalo:
(\bar{X}_1-\bar{X}_2)\pm t_{0,995,\nu}\cdot\mathrm{SE}.
Cálculo da margem de erro:
\text{margem}=2,712\times0,13272\approx0,3596.
Intervalo:
-0,927\pm0,3596 \quad\Rightarrow\quad [-1,2866,\;-0,5674].
Arredondando a três casas decimais:
[-1,287,\;-0,567]\\ \text{segundos}.

Passo 7

Interpretação (o que o intervalo nos diz sobre se T1 é mais rápida que T2).
  • O intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2 é totalmente negativo: tanto o limite inferior quanto o superior são menores que zero.
  • Isso significa que, com 99\% de confiança, a média do tempo de T1 é menor do que a média do tempo de T2 por um valor entre aproximadamente 0,567 e 1,287 segundos.
  • Em linguagem direta: há evidência forte (nível de confiança 99\%) de que T1 é mais rápida que T2 (ou seja, \mu_1<\mu_2).

Resposta

a) Intervalo de confiança de 99\% para \mu_{1}-\mu_{2}: [-1,287,\;-0,567] segundos.
c) Como o intervalo é totalmente negativo (não contém zero), conclui‑se que \mu_{1}<\mu_{2}; portanto T1 é mais rápida que T2 (com 99\% de confiança).

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