Considere que um produto pode estar perfeito (B), com defeito leve (DL) ou com defeito grave (DG). Seja a seguinte distribuição do lucro (em R$), por unidade vendida desse produto:
Produto \boldsymbol{x} \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})
B 6 0,7
DL 0 0,2
DG -2 0,1
a) Calcule o valor esperado e a variância do lucro.
b) Se, com a redução de desperdícios, foi possível aumentar uma unidade no lucro de cada unidade do produto, qual é o novo valor esperado e a variância do lucro por unidade?
c) E se o lucro duplicou, qual é o novo valor esperado e variância do lucro por unidade?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição do lucro por unidade vendida com três possíveis valores e suas probabilidades. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Calcular o valor esperado e a variância do lucro.
  • (b) Se o lucro de cada unidade aumentar em uma unidade monetária, qual o novo valor esperado e a variância?
  • (c) Se o lucro duplicar, qual o novo valor esperado e a variância?
Dados fornecidos (retirados do enunciado):
  • lucro quando o produto está perfeito: x=6 com probabilidade p(6)=0,7;
  • lucro quando há defeito leve: x=0 com probabilidade p(0)=0,2;
  • lucro quando há defeito grave: x=-2 com probabilidade p(-2)=0,1.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo).
Definições para variável aleatória discreta X com valores x_i e probabilidades p(x_i):
  • O valor esperado (média) é dado por
\mathbb{E}[X]=\sum_i x_i\,p(x_i),
onde cada x_i é um possível valor da variável e p(x_i) é a probabilidade correspondente. Aqui \mathbb{E}[X] é a média ponderada dos valores possíveis.
  • A variância mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada por
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2,
onde
\mathbb{E}[X^2]=\sum_i x_i^2\,p(x_i).
Explicando: \mathbb{E}[X^2] é a média ponderada dos quadrados; subtrair o quadrado da média dá a variância.
Propriedades úteis que vou usar depois:
  • Se Y=X+c com c constante, então \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[X]+c e \mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(X).
  • Se Z=aX com constante a, então \mathbb{E}[Z]=a\mathbb{E}[X] e \mathrm{Var}(Z)=a^2\mathrm{Var}(X).

Passo 3

Calcular o valor esperado \mathbb{E}[X] usando a fórmula:
\mathbb{E}[X]=6\cdot0,7 + 0\cdot0,2 + (-2)\cdot0,1.
Faço as multiplicações passo a passo:
6\cdot0,7 = 4,2, \qquad 0\cdot0,2 = 0, \qquad (-2)\cdot0,1 = -0,2.
Somando:
\mathbb{E}[X]=4,2 + 0 - 0,2 = 4,0.
Portanto o valor esperado do lucro por unidade é \mathbb{E}[X]=4,0 (em reais).

Passo 4

Calcular a variância \mathrm{Var}(X) pelo método \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2.
Primeiro \mathbb{E}[X^2]:
\mathbb{E}[X^2]=6^2\cdot0,7 + 0^2\cdot0,2 + (-2)^2\cdot0,1.
Calculo os termos:
6^2\cdot0,7 = 36\cdot0,7 = 25,2, \qquad 0^2\cdot0,2 = 0, \qquad (-2)^2\cdot0,1 = 4\cdot0,1 = 0,4.
Somando:
\mathbb{E}[X^2]=25,2 + 0 + 0,4 = 25,6.
Agora a variância:
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2 = 25,6 - (4,0)^2 = 25,6 - 16 = 9,6.
Unidade da variância: \text{(R\$)}^2. Se quiser o desvio padrão, é \sqrt{9,6}\approx3,10 reais, mas o enunciado pede variância.

Passo 5

Parte (b): aumento de uma unidade no lucro de cada unidade do produto. Defino Y=X+1.
Usando as propriedades:
\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[X]+1 = 4,0 + 1 = 5,0,
\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{Var}(X)=9,6.
Explicação curta: somar uma constante desloca a média mas não altera a dispersão.

Passo 6

Parte (c): o lucro duplicou, isto é Z=2X.
Usando as propriedades de homogeneidade:
\mathbb{E}[Z]=2\mathbb{E}[X]=2\cdot4,0 = 8,0,
\mathrm{Var}(Z)=2^2\mathrm{Var}(X)=4\cdot9,6 = 38,4.
Explicação: multiplicar por constante escala tanto a média quanto a variância (a variância escala pelo quadrado da constante).

Resposta

(a) \mathbb{E}[X]=4,0 (R$), \mathrm{Var}(X)=9,6 (R$^2)
(b) \mathbb{E}[Y]=5,0 (R$), \mathrm{Var}(Y)=9,6 (R$^2)
(c) \mathbb{E}[Z]=8,0 (R$), \mathrm{Var}(Z)=38,4 (R$^2)

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