Considere que um produto pode estar perfeito (B), com defeito leve (DL) ou com defeito grave (DG). Seja a seguinte distribuição do lucro (em R$), por unidade vendida desse produto:
Produto
B
6
0,7
DL
0
0,2
DG
-2
0,1
a) Calcule o valor esperado e a variância do lucro.
b) Se, com a redução de desperdícios, foi possível aumentar uma unidade no lucro de cada unidade do produto, qual é o novo valor esperado e a variância do lucro por unidade?
c) E se o lucro duplicou, qual é o novo valor esperado e variância do lucro por unidade?
| Produto |
|
|
| B | 6 | 0,7 |
| DL | 0 | 0,2 |
| DG | -2 | 0,1 |
b) Se, com a redução de desperdícios, foi possível aumentar uma unidade no lucro de cada unidade do produto, qual é o novo valor esperado e a variância do lucro por unidade?
c) E se o lucro duplicou, qual é o novo valor esperado e variância do lucro por unidade?
Passo 1
O enunciado dá a distribuição do lucro por unidade vendida com três possíveis valores e suas probabilidades. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas do enunciado:
- (a) Calcular o valor esperado e a variância do lucro.
- (b) Se o lucro de cada unidade aumentar em uma unidade monetária, qual o novo valor esperado e a variância?
- (c) Se o lucro duplicar, qual o novo valor esperado e a variância?
Dados fornecidos (retirados do enunciado):
- lucro quando o produto está perfeito:
com probabilidade ; - lucro quando há defeito leve:
com probabilidade ; - lucro quando há defeito grave:
com probabilidade .
Passo 2
Vou explicar as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas, passo a passo).
Definições para variável aleatória discreta
com valores
e probabilidades
:
- O valor esperado (média) é dado por
onde cada
é um possível valor da variável e
é a probabilidade correspondente. Aqui
é a média ponderada dos valores possíveis.
- A variância mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada por
onde
Explicando:
é a média ponderada dos quadrados; subtrair o quadrado da média dá a variância.
Propriedades úteis que vou usar depois:
- Se
com constante, então e . - Se
com constante , então e .
Passo 3
Calcular o valor esperado
usando a fórmula:
Faço as multiplicações passo a passo:
Somando:
Portanto o valor esperado do lucro por unidade é
(em reais).
Passo 4
Calcular a variância
pelo método
.
Primeiro
:
Calculo os termos:
Somando:
Agora a variância:
Unidade da variância:
. Se quiser o desvio padrão, é
reais, mas o enunciado pede variância.
Passo 5
Parte (b): aumento de uma unidade no lucro de cada unidade do produto. Defino
.
Usando as propriedades:
Explicação curta: somar uma constante desloca a média mas não altera a dispersão.
Passo 6
Parte (c): o lucro duplicou, isto é
.
Usando as propriedades de homogeneidade:
Explicação: multiplicar por constante escala tanto a média quanto a variância (a variância escala pelo quadrado da constante).
Resposta
(a)
(R$),
(R$^2)
(b)
(R$),
(R$^2)
(c)
(R$),
(R$^2)