1. Considere PVI, abaixo, e responda, justificando com cálculos, as questões:
P V I=\left\{\begin{array}{l} \left(y^{5}+4 x^{5}+x y^{4}\right) \frac{d y}{d x}=4 x^{4} y+y^{5} \\\ y(0)=1 \end{array}\right.
  • Qual a solução geral dessa EDO ?
  • A solução nula é solução dessa EDO?
  • O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade?

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
PVI=\left\{\begin{array}{l} \left(y^{5}+4 x^{5}+x y^{4}\right)\dfrac{dy}{dx}=4 x^{4} y+y^{5},\\[6pt] y(0)=1, \end{array}\right.
Perguntas a responder:
  • Qual a solução geral dessa EDO?
  • A solução nula (isto é, y(x)\equiv 0) é solução dessa EDO?
  • O PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf)?\n
    Informações relevantes fornecidas:
  • A equação pode ser escrita isolando \dfrac{dy}{dx} como função racional de x e y:
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4 x^{4} y+y^{5}}{y^{5}+4 x^{5}+x y^{4}}.
  • Condição inicial: y(0)=1.]

Passo 2

Observação sobre a forma da função à direita: tanto o numerador quanto o denominador são somas de termos homogêneos de grau 5 em x e y. Vou mostrar isso explicitamente (isso nos sugere usar a substituição v=y/x).
Escrevo o lado direito como
f(x,y)=\dfrac{4 x^{4} y+y^{5}}{y^{5}+4 x^{5}+x y^{4}}.
Cada termo do numerador tem grau 4+1=5 ou 5. Cada termo do denominador tem grau 5. Portanto f(x,y) é função homogênea de grau 0: depende apenas da razão y/x. Isso motiva a substituição padrão para EDOs homogêneas:
\text{coloco } v=\dfrac{y}{x}\quad\text{(logo }y=vx\text{).}

Passo 3

Aplico a substituição y=vx. Primeiro calculo \dfrac{dy}{dx} em termos de v:
\dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx}.
Agora reescrevo numerador e denominador em função de v e x.
Numerador:
4x^{4}y+y^{5}=4x^{4}(vx)+(vx)^{5}=v(4+v^{4})x^{5}.
Denominador:
y^{5}+4x^{5}+x y^{4}=(vx)^{5}+4x^{5}+x(vx)^{4}=(v^{5}+v^{4}+4)x^{5}.
Portanto a razão vira (os fatores x^{5} cancelam)
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{v(4+v^{4})}{v^{5}+v^{4}+4}.
Substituo \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx}, obtendo
v+x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{v(4+v^{4})}{v^{5}+v^{4}+4}.

Passo 4

Isolo x\dfrac{dv}{dx}:
x\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{v(4+v^{4})}{v^{5}+v^{4}+4}-v.
Coloco sobre denominador comum e simplifico:
x\dfrac{dv}{dx}=v\left(\dfrac{4+v^{4}-(v^{5}+v^{4}+4)}{v^{5}+v^{4}+4}\right) = v\left(\dfrac{-v^{5}}{v^{5}+v^{4}+4}\right) = -\dfrac{v^{6}}{v^{5}+v^{4}+4}.
Isso é uma equação separável em v e x. Reescrevo separando variáveis:
\dfrac{v^{5}+v^{4}+4}{v^{6}}\,dv = -\dfrac{dx}{x}.

Passo 5

Expresso o integrando do lado esquerdo em potências de v:
\dfrac{v^{5}+v^{4}+4}{v^{6}}= \dfrac{v^{5}}{v^{6}}+\dfrac{v^{4}}{v^{6}}+\dfrac{4}{v^{6}} = \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{v^{2}}+4v^{-6}.
Integro ambos os lados:
\int\left(\dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{v^{2}}+4v^{-6}\right)dv = \int -\dfrac{dx}{x}.
Calculo as integrais termo a termo:
\int \dfrac{1}{v}\,dv = \ln|v|,\qquad \int v^{-2}\,dv = -\dfrac{1}{v},\qquad \int 4v^{-6}\,dv = -\dfrac{4}{5}v^{-5}.
Logo
\ln|v| - \dfrac{1}{v} - \dfrac{4}{5}v^{-5} = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Volto à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Observações úteis:
\ln|v|+\ln|x|=\ln|xv|=\ln|y|,\qquad \dfrac{1}{v}=\dfrac{x}{y},\qquad v^{-5}=\dfrac{x^{5}}{y^{5}}.
Portanto, somando \ln|x| em ambos os lados, obtenho a solução implícita geral
\ln|y| - \dfrac{x}{y} - \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{x^{5}}{y^{5}} = C.
Esta é a solução geral (implícita) da EDO. Podemos escrever de forma mais clara:
\boxed{\ln|y| - \dfrac{x}{y} - \dfrac{4x^{5}}{5y^{5}} = C.}

Passo 7

Acho a solução que satisfaz y(0)=1. Substituo x=0,\;y=1 na solução implícita:
\ln 1 - \dfrac{0}{1} - \dfrac{4\cdot 0^{5}}{5\cdot 1^{5}} = C \quad\Rightarrow\quad 0 = C.
Portanto a solução particular do PVI é dada implicitamente por
\boxed{\ln|y| - \dfrac{x}{y} - \dfrac{4x^{5}}{5y^{5}} = 0.}

Passo 8

Verifico se a solução nula y\equiv 0 resolve a EDO. Substituo y(x)=0 e dy/dx=0 na equação original:
\left(0^{5}+4x^{5}+x\cdot 0^{4}\right)\cdot 0 \stackrel{?}{=} 4x^{4}\cdot 0 + 0^{5}.
Isso é 0=0 para todo x. Portanto y\equiv 0 satisfaz a equação, ou seja, a solução nula é, de fato, uma solução (note que a solução nula não satisfaz a condição inicial y(0)=1, mas é solução geral da EDO quando considerada isoladamente).

Passo 9

Analiso as hipóteses do teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf). Escrevo a EDO na forma normal
\dfrac{dy}{dx}=f(x,y),\quad\text{com}\quad f(x,y)=\dfrac{4 x^{4} y+y^{5}}{y^{5}+4 x^{5}+x y^{4}}.
O teorema exige que f e \partial f/\partial y sejam contínuas numa vizinhança do ponto inicial (0,1). Aqui f é uma função racional de x,y cujo denominador é D(x,y)=y^{5}+4x^{5}+x y^{4}. Em (0,1) temos
D(0,1)=1^{5}+4\cdot 0^{5}+0\cdot 1^{4}=1\neq 0,
logo existe uma pequena vizinhança de (0,1) onde D(x,y)\neq 0, e portanto f e \partial f/\partial y são contínuas nessa vizinhança. Consequência: o PVI com y(0)=1 satisfaz as hipóteses do teorema, então existe uma única solução local que passa por (0,1). (Isso concorda com a solução implícita obtida e com o cálculo de constante C=0.)

Resposta

\ln|y|-\dfrac{x}{y}-\dfrac{4x^{5}}{5y^{5}}=C (solução geral implícita).
Sim, y(x)\equiv 0 é solução da EDO.
Sim, o PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade no ponto (0,1) (pois o denominador é não nulo em (0,1), logo f e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (0,1)); a solução do PVI é a solução implícita com C=0: \ln|y|-\dfrac{x}{y}-\dfrac{4x^{5}}{5y^{5}}=0.

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