Observação sobre a forma da função à direita: tanto o numerador quanto o denominador são somas de termos homogêneos de grau 5 em x e y. Vou mostrar isso explicitamente (isso nos sugere usar a substituição v=y/x).
Cada termo do numerador tem grau 4+1=5 ou 5. Cada termo do denominador tem grau 5. Portanto f(x,y) é função homogênea de grau 0: depende apenas da razão y/x. Isso motiva a substituição padrão para EDOs homogêneas:
Isso é 0=0 para todo x. Portanto y\equiv 0 satisfaz a equação, ou seja, a solução nula é, de fato, uma solução (note que a solução nula não satisfaz a condição inicial y(0)=1, mas é solução geral da EDO quando considerada isoladamente).
Passo 9
Analiso as hipóteses do teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf). Escrevo a EDO na forma normal
O teorema exige que f e \partial f/\partial y sejam contínuas numa vizinhança do ponto inicial (0,1). Aqui f é uma função racional de x,y cujo denominador é D(x,y)=y^{5}+4x^{5}+x y^{4}. Em (0,1) temos
D(0,1)=1^{5}+4\cdot 0^{5}+0\cdot 1^{4}=1\neq 0,
logo existe uma pequena vizinhança de (0,1) onde D(x,y)\neq 0, e portanto f e \partial f/\partial y são contínuas nessa vizinhança. Consequência: o PVI com y(0)=1 satisfaz as hipóteses do teorema, então existe uma única solução local que passa por (0,1). (Isso concorda com a solução implícita obtida e com o cálculo de constante C=0.)
Resposta
\ln|y|-\dfrac{x}{y}-\dfrac{4x^{5}}{5y^{5}}=C (solução geral implícita).
Sim, y(x)\equiv 0 é solução da EDO.
Sim, o PVI satisfaz as condições do teorema de existência e unicidade no ponto (0,1) (pois o denominador é não nulo em (0,1), logo f e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (0,1)); a solução do PVI é a solução implícita com C=0: \ln|y|-\dfrac{x}{y}-\dfrac{4x^{5}}{5y^{5}}=0.