Calcule a integral imprópria
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. Informações dadas que vamos usar:
a função integranda é
, o intervalo de integração é
e a integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
Observação: o enunciado também trouxe um trecho sobre substituições trigonométricas (como ), mas isso não é necessário aqui — a integral é mais simples e resolvê-la pela antiderivada direta é o caminho mais curto.
Observação: o enunciado também trouxe um trecho sobre substituições trigonométricas (como
Passo 2
Definição prática de integral imprópria (aquilo que vamos aplicar): para uma função
positiva ou adequada em
,
Ou seja, calculamos a integral definida até um ponto finito
e então tomamos o limite quando
cresce até o infinito. Isso corresponde à ideia de área sob a curva até
e depois ver quanto essa área tende quando
aumenta sem limite.
Passo 3
Vamos achar uma antiderivada de
. Use a regra de potência para primitivação: para
,
onde
é a constante de integração. Aqui
, pois
. Aplicando a fórmula:
Portanto, uma antiderivada de
é
.
Passo 4
Agora calculamos a integral definida de
até
(com
):
Fazendo as contas:
Passo 5
Agora aplicamos a definição de integral imprópria, tomando o limite quando
:
Como
, temos