Calcule a integral imprópria \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} d x.
\begin{array}{ll} x=a \cdot \sin \theta & \sqrt{1-\operatorname{sen}^{2} \theta} \\\ d x=x^{\prime}=a \cdot \cos \theta d \theta & 1-\sin ^{2} \theta=\cos ^{2} \theta \\\ & \sqrt{\cos ^{2} \theta}=\cos \theta . \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx. Informações dadas que vamos usar:
\displaystyle a função integranda é \displaystyle \frac{1}{x^{2}}, o intervalo de integração é \displaystyle [1,+\infty) e a integral é imprópria porque o limite superior é infinito.
Observação: o enunciado também trouxe um trecho sobre substituições trigonométricas (como \displaystyle x=a\sin\theta), mas isso não é necessário aqui — a integral é mais simples e resolvê-la pela antiderivada direta é o caminho mais curto.

Passo 2

Definição prática de integral imprópria (aquilo que vamos aplicar): para uma função f positiva ou adequada em [1,\infty),
\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx := \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} f(x)\,dx.
Ou seja, calculamos a integral definida até um ponto finito b e então tomamos o limite quando b cresce até o infinito. Isso corresponde à ideia de área sob a curva até b e depois ver quanto essa área tende quando b aumenta sem limite.

Passo 3

Vamos achar uma antiderivada de \displaystyle \frac{1}{x^{2}}. Use a regra de potência para primitivação: para n\neq -1,
\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui n=-2, pois \displaystyle \frac{1}{x^{2}}=x^{-2}. Aplicando a fórmula:
\displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C = \frac{x^{-1}}{-1}+C = -\frac{1}{x}+C.
Portanto, uma antiderivada de \displaystyle \frac{1}{x^{2}} é -\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Agora calculamos a integral definida de 1 até b (com b>1):
\displaystyle \int_{1}^{b} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} = \left(-\frac{1}{b}\right)-\left(-\frac{1}{1}\right).
Fazendo as contas:
\displaystyle \left(-\frac{1}{b}\right)-\left(-1\right) = 1-\frac{1}{b}.

Passo 5

Agora aplicamos a definição de integral imprópria, tomando o limite quando b\to\infty:
\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left(1-\frac{1}{b}\right).
Como \displaystyle \lim_{b\to\infty}\frac{1}{b}=0, temos
\displaystyle \lim_{b\to\infty}\left(1-\frac{1}{b}\right)=1-0=1.

Resposta

1

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