Considere o PVI, dado a seguir:
{x^2 - 1} dy/dx + x y = 5 x y(2) = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um Problema de Valor Inicial (PVI) com uma equação diferencial:
{x^2 - 1} dy/dx + x y = 5 x y(2) = 3
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação na forma padrão, encontrar um fator integrante e aplicar a condição inicial para determinar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear:
Dividindo todos os termos por , temos:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Calculando a integral de P(x):
Vamos fazer uma substituição simples: seja , então , ou seja, . A integral fica:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Aqui usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação em uma derivada exata.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Fazemos a substituição , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 7

Voltando à equação:
Dividimos ambos os lados por (desde que ):

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:

Resposta

A solução do PVI é:

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