(w) lim x 0(sen(2 x)x)^1+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite de quando se aproxima de 0. Aqui estamos trabalhando com limites, funções trigonométricas e exponenciais. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta perto de zero e usar umas manhas de limites com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na base da potência: . Sabemos que, quando limx to 0 sen(2x)x = limx to 0 2xx = 2 tá perto de 0, é aproximadamente igual a . Então, é aproximadamente . Vamos formalizar isso:
Então, a base do nosso limite tende a 2 quando vai pra 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar pro expoente: limx to 0 (1 + x^2) = 1 . Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então:

Passo 4

Agora que temos a base e o expoente, nosso limite original fica assim:

Resposta

O limite é .

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