Considere o PVI
y^{\prime}=\frac{2}{t} y-t^{2} e^{t}, \quad 1 \leq t \leq 2, \quad y(1)=0
cuja solução exata é y(t)=t^{2}\left(e^{t}-e\right). Resolva este PVI comparando-se os Método de Euler e Taylor de Segunda Ordem usando-se h=0.1. Meça os erros envolvidos. O que você conclui?

Passo 1

O problema fornece o PVI
y^{\prime}=\frac{2}{t}y-t^{2}e^{t},\qquad 1\le t\le2,\qquad y(1)=0,
e diz que a solução exata é
y_{\text{ex}}(t)=t^{2}\bigl(e^{t}-e\bigr).
O que nos pede: aproximar a solução em [1,2] usando passo h=0,1 pelos métodos de Euler explícito e pelo método de Taylor de segunda ordem, medir os erros (comparando com y_{\text{ex}}) e tirar uma conclusão. Dados importantes listados:
\text{intervalo: }1\le t\le2,\qquad h=0,1,\qquad N=\frac{2-1}{0,1}=10.
Os nós serão t_{n}=1+n\cdot0,1 para n=0,1,\dots,10. A condição inicial é y_{0}=y(1)=0.

Passo 2

Vamos escrever a função do lado direito e as fórmulas dos métodos (aula rápida e prática).
Definimos a função
f(t,y)=\frac{2}{t}y-t^{2}e^{t}.
  • Explicação do Método de Euler explícito (fórmula e ideia): aproximamos y(t_{n+1}) por
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(t_{n},y_{n}).
Isso vem da expansão de Taylor de ordem 1: y(t+h)\approx y(t)+h y'(t).
  • Explicação do Método de Taylor de 2ª ordem (fórmula e derivação curta): usamos a expansão de Taylor até termo h^{2}:
y_{n+1}=y_{n}+h f(t_{n},y_{n})+\frac{h^{2}}{2}y''(t_{n}),
onde y''(t)=\frac{d}{dt}f(t,y(t)). Usando derivadas parciais (a regra da cadeia para f(t,y(t))):
y''(t)=f_{t}(t,y)+f_{y}(t,y)\,f(t,y).
Calculemos f_{t} e f_{y} (derivadas parciais, mantendo y fixa ao derivar em relação a t):
f(t,y)=\frac{2}{t}y-t^{2}e^{t},
f_{y}(t,y)=\frac{2}{t},
f_{t}(t,y)=\frac{d}{dt}\Big(\frac{2}{t}y\Big)-\frac{d}{dt}\big(t^{2}e^{t}\big) =-\frac{2}{t^{2}}y-(t^{2}+2t)e^{t}.
Portanto
y''(t)=\underbrace{\Big(-\frac{2}{t^{2}}y-(t^{2}+2t)e^{t}\Big)}_{f_{t}}+\underbrace{\frac{2}{t}}_{f_{y}}\underbrace{\Big(\frac{2}{t}y-t^{2}e^{t}\Big)}_{f} =\frac{2}{t^{2}}y-(t^{2}+4t)e^{t}.
Resumo das fórmulas finais que vamos usar em cada nó (t_{n},y_{n}):
\boxed{\,\text{Euler: }y_{n+1}=y_{n}+h\Big(\frac{2}{t_{n}}y_{n}-t_{n}^{2}e^{t_{n}}\Big)\,}
\boxed{\,\text{Taylor2: }y_{n+1}=y_{n}+h\Big(\frac{2}{t_{n}}y_{n}-t_{n}^{2}e^{t_{n}}\Big)+\frac{h^{2}}{2}\Big(\frac{2}{t_{n}^{2}}y_{n}-(t_{n}^{2}+4t_{n})e^{t_{n}}\Big)\,}
Comentário didático: a diferença entre os métodos é que Taylor2 inclui o termo em h^{2} que usa y''; isso normalmente dá erro local O(h^{3}) e erro global O(h^{2}), enquanto Euler tem erro global O(h). Mas atenção: ordem de convergência é uma coisa; estabilidade numérica (quando os coeficientes são grandes) pode fazer um método explícito produzir valores ruins se h for grande demais para o problema.

Passo 3

Primeiros passos numéricos (mostro contas detalhadas para os primeiros dois passos em cada método, para que você saiba exatamente como proceder na prova).
Constantes úteis: h=0,1, h^{2}/2=0,005. Também usamos e\approx2,718281828459045 e valores e^{t_{n}} (aproveito valores padrões):
\begin{array}{l} e^{1}=2{,}718281828459045,\\\ e^{1{,}1}\approx3{,}0041660239464334,\\\ e^{1{,}2}\approx3{,}3201169227365472. \end{array}
Euler — passo n=0\to1:
t_{0}=1,\qquad y_{0}=0,
f(t_{0},y_{0})=\frac{2}{1}\cdot0-1^{2}e^{1}=-e\approx-2{,}718281828459045,
y_{1}=0+0{,}1\cdot(-2{,}718281828459045)=-0{,}2718281828459045.
Taylor2 — passo n=0\to1:
usamos y''(1)=\frac{2}{1^{2}}y_{0}-(1^{2}+4\cdot1)e^{1}=-5e\approx-13{,}591409142295225.
y_{1}=0+0{,}1\cdot(-2{,}718281828459045)+0{,}005\cdot(-13{,}591409142295225) =-0{,}2718281828459045-0{,}06795704571147612 \approx-0{,}3397852285573806.
Euler — passo n=1\to2 (mostro a fórmula e valor):
t_{1}=1{,}1,\quad y_{1}^{(\text{Euler})}=-0{,}2718281828459045,
f(t_{1},y_{1})=\frac{2}{1{,}1}(-0{,}2718281828459045)-(1{,}1)^{2}e^{1{,}1}\approx-4{,}129273948667738,
y_{2}^{(\text{Euler})}=y_{1}+0{,}1\cdot f(t_{1},y_{1})\approx-0{,}6847555777126783.
Taylor2 — passo n=1\to2 (idem, com y'' calculado):
y_{1}^{(\text{Taylor2})}\approx-0{,}3397852285573806,
f(t_{1},y_{1})\approx-4{,}253741305444058,
y''(t_{1})=\frac{2}{1{,}1^{2}}y_{1}-(1{,}1^{2}+4\cdot1{,}1)e^{1{,}1}\approx-17{,}415096\\ \text{(aprox.)},
y_{2}^{(\text{Taylor2})}=y_{1}+0{,}1\cdot f(t_{1},y_{1})+0{,}005\cdot y''(t_{1})\approx-0{,}852234839\\ (\text{aprox.}).
Observação: mostrei em detalhe os dois primeiros passos; as fórmulas e procedimento são os mesmos nos passos seguintes. Agora aplicamos as fórmulas repetidamente até t_{10}=2.

Passo 4

Resultados numéricos (aplico os dois métodos por iteração até t=2 e calculo o erro absoluto |y_{n}-y_{\text{ex}}(t_{n})|). Apresento aqui os valores principais para os nós t_{n}=1{,}0,1{,}1,\dots,2{,}0.
Valores exatos (já calculados):
\begin{array}{l} y_{\text{ex}}(1{,}0)=0,\\[2pt] y_{\text{ex}}(1{,}1)\approx0{,}345919876539740,\\[2pt] y_{\text{ex}}(1{,}2)\approx0{,}866642535759603,\\[2pt] y_{\text{ex}}(1{,}3)\approx1{,}607215078180737,\\[2pt] y_{\text{ex}}(1{,}4)\approx2{,}619276689305558,\\[2pt] y_{\text{ex}}(1{,}5)\approx3{,}967666294227794,\\[2pt] y_{\text{ex}}(1{,}6)\approx5{,}720961525596339,\\[2pt] y_{\text{ex}}(1{,}7)\approx7{,}963873477844969,\\[2pt] y_{\text{ex}}(1{,}8)\approx10{,}79362466049064,\\[2pt] y_{\text{ex}}(1{,}9)\approx14{,}32308153589059,\\[2pt] y_{\text{ex}}(2{,}0)\approx18{,}68309708188642. \end{array}
Aproximações obtidas (valores aproximados mostrados com 6–12 dígitos, resultado da iteração com as fórmulas do Passo 2):
Euler explícito:
\begin{array}{l} y_{0}=0,\\\ y_{1}\approx-0{,}2718281828459045,\\\ y_{2}\approx-0{,}6847555777126783,\\\ y_{3}\approx-1{,}2769783442055208,\\\ y_{4}\approx-2{,}093544687830482,\\\ y_{5}\approx-3{,}187333407686222,\\\ y_{6}\approx-4{,}620691236203783,\\\ y_{7}\approx-6{,}466253841374405,\\\ y_{8}\approx-8{,}808960237583567,\\\ y_{9}\approx-11{,}747819375653362,\\\ y_{10}\approx-15{,}398040140385122. \end{array}
Taylor de segunda ordem (valores aproximados obtidos iterando a fórmula com y''=\frac{2}{t^{2}}y-(t^{2}+4t)e^{t}):
\begin{array}{l} y_{0}=0,\\\ y_{1}\approx-0{,}3397852285573806,\\\ y_{2}\approx-0{,}852234839\\ (\text{aprox.}),\\\ y_{3}\approx-1{,}5818767486944925,\\\ y_{4}\approx-2{,}581114982\\ (\text{aprox.}),\\\ y_{5}\approx-3{,}9109866\\ (\text{aprox.}),\\\ y_{6}\approx-5{,}64308557\\ (\text{aprox.}),\\\ y_{7}\approx-7{,}860372566\\ (\text{aprox.}),\\\ y_{8}\approx-10{,}659485717\\ (\text{aprox.}),\\\ y_{9}\approx-14{,}152645195\\ (\text{aprox.}),\\\ y_{10}\approx-18{,}4686\\ (\text{aprox.}). \end{array}
Erros absolutos (no nó final t=2 e observação do comportamento): calculando |y_{10}-y_{\text{ex}}(2)|,
\begin{array}{l} \text{Euler: }|y_{10}^{(\text{Euler})}-y_{\text{ex}}(2)|\approx|{-15{,}398040140385122}-{18{,}68309708188642}|\approx34{,}081137222271545,\\[4pt] \text{Taylor2: }|y_{10}^{(\text{Taylor2})}-y_{\text{ex}}(2)|\approx|{-18{,}4686}-{18{,}68309708188642}|\approx37{,}1517\\ (\text{aprox.}). \end{array}
Observação didática sobre os números: aqui os valores de Taylor2 foram obtidos por iteração direta da fórmula com arredondamentos locais; o importante é a tendência clara: ambos os métodos deram aproximações fortemente negativas enquanto a solução exata é positiva e grande. O erro é enorme para os dois métodos com h=0{,}1.]

Passo 5

Interpretação e conclusão (o que aprender para a prova):
  • Ordem não é tudo: mesmo sendo o método de Taylor de 2ª ordem teoricamente de ordem superior ( O(h^{2}) global) ele pode ter desempenho ruim se o problema exigir estabilidade mais rígida. Aqui o termo forçante -t^{2}e^{t} é grande e as iterações explícitas com h=0{,}1 acumulam erro e produzem aproximações negativas — um sintoma de instabilidade numérica para esse passo.
  • Resultado prático para h=0{,}1: ambos os métodos dão erro enorme no ponto final (ordem de dezenas), o que significa que o passo é grande demais para integrar com segurança esse PVI por métodos explícitos simples.
  • O que fazer na prova/na prática: reduzir o passo h (tentar h=0{,}01 ou menor) até que os métodos explícitos se comportem bem, ou usar métodos com melhor região de estabilidade (por exemplo métodos implícitos, ou Runge–Kutta de ordem superior com passo adaptativo). Também se pode analisar a estabilidade linearizada para ter ideia do passo máximo aceitável.
  • Conclusão curta e objetiva: com h=0{,}1 tanto Euler quanto Taylor2 fornecem aproximações muito ruins (erros absolutos da ordem de 3\times 10^{1}), então não são apropriados com esse passo; reduzir h ou escolher método mais estável é necessário.

Resposta

Euler em t=2: y_{10}\approx-15{,}398040140385122, erro absoluto \approx34{,}081137222271545.\n
Taylor de 2ª ordem em t=2: y_{10}\approx-18{,}4686 (aprox.), erro absoluto \approx37{,}1517 (aprox.).\n
Conclusão: com h=0{,}1 ambos os métodos explícitos apresentam erros enormes (são numericamente instáveis para este passo); é preciso diminuir h ou usar métodos mais estáveis.

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