Use o Método de Euler para aproximar a solução de cada PVI a seguir.
y{\prime}=1+(t-y){2}, 2 \leq t \leq 3, y(2)=1 com h=0.5
y{\prime}=1+(t-y){2}, 2 \leq t \leq 3, y(2)=1 com h=0.5
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI)
usando o Método de Euler com passo
.
Informações dadas e o que devemos fornecer:
Informações dadas e o que devemos fornecer:
- A equação diferencial:
- Condição inicial:
- Intervalo:
- Passo:
- Objetivo: calcular as aproximações de
nos pontos obtidos por Euler com esse ; como e o intervalo tem comprimento , teremos as abscissas , , . Então precisamos das aproximações em e em .
Passo 2
Explicando o Método de Euler (passo a passo, sem pular etapas).
O Método de Euler explícito aproxima a solução de um PVI
O Método de Euler explícito aproxima a solução de um PVI
por uma sequência
definida por
onde:
-
é o ponto na abscissa (o -ésimo ponto), -
é a aproximação numérica de , -
é o tamanho do passo (distância entre pontos em ), -
é a função do lado direito da EDO que fornece a derivada .
Intuição simples: a fórmula toma o valor atual
e soma
vezes a inclinação
— isto é, avança em
usando a reta tangente (inclinação no ponto à esquerda do intervalo). Por isso Euler é chamado de método com «passo à esquerda».
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: identificar cada peça na fórmula.
-
Aqui nos dá a inclinação no ponto . - Condição inicial:
- Passo:
- Número de passos até
:
portanto teremos dois avanços: de
para
e de
para
.
Passo 4
Cálculo do primeiro passo (
→
).
Primeiro calculamos a inclinação em :
Primeiro calculamos a inclinação em
Agora aplicamos a fórmula de Euler:
Substituindo os valores:
Multiplicando
, obtemos
Portanto a aproximação em
é
.
Passo 5
Cálculo do segundo passo (
→
).
Agora usamos . Primeiro a inclinação em
:
Agora usamos
Aplicando Euler:
Substituindo:
Calculando
, temos
Portanto a aproximação em
é
.
Passo 6
Comentário didático sobre os resultados e erro (rápido e prático).
- As aproximações obtidas com Euler explícito são:
-
- Observação sobre erro: o método de Euler tem erro global da ordem
. Isso significa que, normalmente, diminuir (por exemplo ) melhora de forma aproximadamente linear o erro total. Com a aproximação pode ser grosseira, mas é rápida e direta de calcular — útil em provas quando pedem método de Euler com passo dado. - Dica prática para prova: escreva sempre os valores de
, calcule com cuidado (atenção aos quadrados) e rondone os produtos passo a passo para evitar erro de cálculo.