Use o Método de Euler para aproximar a solução de cada PVI a seguir.
y{\prime}=1+(t-y){2}, 2 \leq t \leq 3, y(2)=1 com h=0.5

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a solução do problema de valor inicial (PVI)
y' = 1 + (t-y)^2,\quad 2 \le t \le 3,\quad y(2)=1
usando o Método de Euler com passo h=0,5.
Informações dadas e o que devemos fornecer:
  • A equação diferencial: \,y' = 1 + (t-y)^2.
  • Condição inicial: \,y(2)=1.
  • Intervalo: \,[2,3].
  • Passo: \,h=0,5.
  • Objetivo: calcular as aproximações de y nos pontos obtidos por Euler com esse h; como h=0,5 e o intervalo tem comprimento 1, teremos as abscissas t_0=2, t_1=2,5, t_2=3. Então precisamos das aproximações \,y_1 em t_1=2,5 e \,y_2 em t_2=3.

Passo 2

Explicando o Método de Euler (passo a passo, sem pular etapas).
O Método de Euler explícito aproxima a solução de um PVI
y' = f(t,y),\qquad y(t_0)=y_0
por uma sequência \{(t_n,y_n)\} definida por
y_{n+1} = y_n + h\,f(t_n,y_n),
onde:
  • \,t_n = t_0 + n h é o ponto na abscissa (o n-ésimo ponto),
  • \,y_n é a aproximação numérica de y(t_n),
  • \,h é o tamanho do passo (distância entre pontos em t),
  • \,f(t,y) é a função do lado direito da EDO que fornece a derivada y'.
Intuição simples: a fórmula toma o valor atual y_n e soma h vezes a inclinação f(t_n,y_n) — isto é, avança em t usando a reta tangente (inclinação no ponto à esquerda do intervalo). Por isso Euler é chamado de método com «passo à esquerda».

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: identificar cada peça na fórmula.
  • f(t,y) = 1 + (t-y)^2. Aqui f nos dá a inclinação no ponto (t,y).
  • Condição inicial: t_0 = 2,\; y_0 = 1.
  • Passo: h = 0,5.
  • Número de passos até t=3:
N=\frac{3-2}{0,5}=2,
portanto teremos dois avanços: de t_0=2 para t_1=2,5 e de t_1=2,5 para t_2=3.

Passo 4

Cálculo do primeiro passo ( n=0 n=1).
Primeiro calculamos a inclinação em (t_0,y_0)=(2,1):
f(t_0,y_0)=1+(t_0-y_0)^2 = 1+(2-1)^2 = 1+1 = 2.
Agora aplicamos a fórmula de Euler:
y_1 = y_0 + h\,f(t_0,y_0).
Substituindo os valores:
y_1 = 1 + 0,5\cdot 2.
Multiplicando 0,5\cdot 2 = 1, obtemos
y_1 = 1 + 1 = 2.
Portanto a aproximação em t_1=2,5 é \,y_1=2.

Passo 5

Cálculo do segundo passo ( n=1 n=2).
Agora usamos (t_1,y_1)=(2,5,\,2). Primeiro a inclinação em (t_1,y_1):
f(t_1,y_1)=1+(t_1-y_1)^2 = 1+(2,5-2)^2 = 1+(0,5)^2 = 1+0,25 = 1,25.
Aplicando Euler:
y_2 = y_1 + h\,f(t_1,y_1).
Substituindo:
y_2 = 2 + 0,5\cdot 1,25.
Calculando 0,5\cdot 1,25 = 0,625, temos
y_2 = 2 + 0,625 = 2,625.
Portanto a aproximação em t_2=3 é \,y_2=2,625.

Passo 6

Comentário didático sobre os resultados e erro (rápido e prático).
  • As aproximações obtidas com Euler explícito são:
    • \,y(2,5)\approx y_1 = 2.
    • \,y(3)\approx y_2 = 2,625.
  • Observação sobre erro: o método de Euler tem erro global da ordem O(h). Isso significa que, normalmente, diminuir h (por exemplo h=0,25) melhora de forma aproximadamente linear o erro total. Com h=0,5 a aproximação pode ser grosseira, mas é rápida e direta de calcular — útil em provas quando pedem método de Euler com passo dado.
  • Dica prática para prova: escreva sempre os valores de t_n, calcule f(t_n,y_n) com cuidado (atenção aos quadrados) e rondone os produtos passo a passo para evitar erro de cálculo.

Resposta

y(2,5)\approx 2
y(3)\approx 2,625

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