Considere a quádrica S: x^2+y^2-z-4 x-6 y+13=0 e o plano pi: z=4.
b) Determine a interseção de S com pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície quádrupla e um plano . O que precisamos fazer é encontrar a interseção dessas duas superfícies, ou seja, descobrir qual é a curva formada quando elas se cruzam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a substituição de variáveis e a identificação de formas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a equação do plano x^2 + y^2 - (4) - 4x - 6y + 13 = 0 na equação da superfície . Como no plano , substituímos por 4 na equação de :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação:
x^2 + y^2 - 4 - 4x - 6y + 13 = 0 x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0

Passo 4

Para identificar a forma dessa equação, vamos completar o quadrado tanto para (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) + 9 = 0 quanto para .
Primeiro, agrupamos os termos de e :

Passo 5

Completando o quadrado para x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 :
y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9
E para :

Passo 6

Substituímos essas expressões de volta na equação:
(x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 + 9 = 0
Simplificando:
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 - 4 = 0 (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4

Passo 7

Essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Portanto, a interseção da superfície quádrupla com o plano é um círculo de raio 2 centrado no ponto .

Resposta

A interseção de com é o círculo de equação no plano .

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