Considere a quádrica
e o plano
.
b) Determine a interseção de
com
.
b) Determine a interseção de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície quádrupla
e um plano
. O que precisamos fazer é encontrar a interseção dessas duas superfícies, ou seja, descobrir qual é a curva formada quando elas se cruzam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a substituição de variáveis e a identificação de formas geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a equação do plano
na equação da superfície
. Como
no plano
, substituímos
por 4 na equação de
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação:
Passo 4
Para identificar a forma dessa equação, vamos completar o quadrado tanto para
quanto para
.
Primeiro, agrupamos os termos de
e
:
Passo 5
Completando o quadrado para
:
E para
:
Passo 6
Substituímos essas expressões de volta na equação:
Simplificando:
Passo 7
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
. Portanto, a interseção da superfície quádrupla
com o plano
é um círculo de raio 2 centrado no ponto
.
Resposta
A interseção de
com
é o círculo de equação
no plano
.