Considere o plano pi de equação pi: 2 x-y+2 z+1=0 e o ponto P=(1,1,1).
(b) Determine a equação do plano que passa por P e é paralelo ao plano pi;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem um plano dado pela equação e um ponto . O que a gente precisa achar é a equação de um novo plano que passa por esse ponto e que seja paralelo ao plano . Para isso, vamos precisar entender como identificar planos paralelos e como usar a equação geral de um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois planos são paralelos se eles têm o mesmo vetor normal. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. No caso do plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, queremos a equação de um plano que passa pelo ponto e que seja paralelo a . Como os planos são paralelos, o vetor normal do novo plano será o mesmo, ou seja, .

Passo 4

A equação geral de um plano é 2(x - 1) - 1(y - 1) + 2(z - 1) = 0 , onde é o vetor normal e é um ponto que está no plano. Substituindo os valores que temos:
Vamos distribuir e simplificar essa expressão.

Passo 5

Distribuindo:
2x - 2 - y + 1 + 2z - 2 = 0
Juntando os termos semelhantes:
2x - y + 2z - 3 = 0
Então, a equação do plano que passa por e é paralelo a é:

Resposta

A equação do plano é .

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